Formalisme ADM

Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles Misner lors de l'événement ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation (2009), célébrant le cinquantième anniversaire de leur publication^[1].

Le formalisme ADM^[2] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner. Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la relativité numérique (en)^[3].

Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Gravitation: An introduction to current research (1962)^[4]. Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue General Relativity and Gravitation (en)^[5].

Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au 9 novembre 2009 à la Texas A&M University^[6].

Formalisme

Le formalisme ADM^[7] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale^[8]. Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille d'hypersurfaces^[7] de genre espace ${\displaystyle \Sigma _{t}}$, marquées par un temps ${\displaystyle t}$, et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par ${\displaystyle x^{i}}$.

La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperbolique^[9].

Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ainsi que leur moment conjugué ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$. Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.

Le formalisme fait intervenir trois fonctions ${\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}}$^{[10],[N 1]} des coordonnées ${\displaystyle \left\{t,x^{i}\right\}}$^[10] :

• ${\displaystyle \alpha }$ est un scalaire^[11] dit la fonction laps^{[7],[N 2]}. Elle mesure le temps propre entre les coupes voisines^{[10],[N 3]} ;
• ${\displaystyle \beta ^{i}}$ est un vecteur^[11] dit le vecteur décalage^{[7],[N 4]}. Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantes^{[N 5]} ;
• ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est la métrique à trois dimensions^{[10],[N 6]}. Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante ${\displaystyle t=\mathrm {d} x^{0}}$^{[10],[N 7]}.

Métrique ADM

Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suit^{[7],[10],[12]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}=-c\mathrm {d} \tau ^{2}&=-\left(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=\left(-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}c\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}\\&=-\alpha ^{2}c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\gamma _{ij}\left(\mathrm {d} x^{i}+\beta ^{i}c\mathrm {d} t\right)\left(\mathrm {d} x^{j}+\beta ^{j}c\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}$, où ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide,

avec^[13] :

${\displaystyle g_{00}=-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i},\;g_{0i}=\beta _{i},\;g_{ij}=\gamma _{ij}}$,

${\displaystyle g^{00}=-{\frac {1}{\alpha ^{2}}},\;g^{0i}={\frac {\beta ^{i}}{\alpha ^{2}}},\;g^{ij}=\gamma ^{ij}-{\frac {\beta ^{i}\beta ^{j}}{\alpha ^{2}}}}$,

et^[14] :

${\displaystyle {\sqrt {-g}}=\alpha {\sqrt {h}}}$.

Une telle métrique est dite métrique ADM^{[15],[16],[17]}.

La représentation matricielle d'une telle métrique est :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&\beta _{i}\\\beta _{i}&\gamma _{ij}\end{pmatrix}}}$ ;

Utilisations

La formalisme permet de définir les grandeurs conservées d'un système isolé : l'énergie (ou la masse), le moment linéaire (c'est-à-dire la quantité de mouvement) et le moment angulaire (c'est-à-dire le moment cinétique)^[18].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ADM formalism » (voir la liste des auteurs).

Notes

1. Les trois fonctions ${\displaystyle \left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}}$ sont aussi notées ${\displaystyle \left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}}$^[9].
2. En anglais : lapse^[10].
3. Autrement dit, ${\displaystyle \alpha }$ mesure la différence entre le temps-coordonnée ${\displaystyle t}$ et le temps propre ${\displaystyle \tau }$ sur des courbes normales aux hypersurfaces ${\displaystyle \Sigma _{t}}$^[9].
4. En anglais : shift^[10].
5. Autrement dit, ${\displaystyle \beta ^{i}}$ mesure la différence entre un point ${\displaystyle P}$ de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre ${\displaystyle P}$ d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale ${\displaystyle n}$^[9].
6. ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est aussi connue comme la « métrique intrinsèque »^[9] ou comme la « première forme fondamentale »^[9].
7. Autrement dit, ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$^[9].

Références

1. (en) « A Celebration of Current GR Innovation ».
2. Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu  : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne), chap. 10, p. 380
3. (en) Arnowitt R., Deser S. et Misner C., « Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity », Physical Review, vol. 116, n^o 5,‎ 1959, p. 1322–1330 (DOI 10.1103/PhysRev.116.1322, Bibcode 1959PhRv..116.1322A)
4. (en) Collectif d'auteur, Gravitation : An introduction to current research, New York, Louis Witten, Wiley, 1962 (présentation en ligne), chap. 7, p. 227–265
5. (en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation, vol. 40, n^o 9,‎ 2008, p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1, Bibcode 2008GReGr..40.1997A, arXiv gr-qc/0405109)
6. (en) « ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation », sur adm-50.physics.tamu.edu, 2009.
7. Renaux-Petel 2021, p. 195.
8. Vargas Moniz 2008, sect. 2, p. 709.
9. Vargas Moniz 2008, sect. 2, § 2.1, p. 709.
10. Hawke 2015, part. V, chap. V.15, sect. 2, § 2.1, p. 681, col. 1.
11. Laguna 2005, annexe A, p. 168.
12. Santos-Pereira, Abreu et Ribeiro 2023, sec. 2, p. 844 (1).
13. Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435 (4.9).
14. Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, I^re partie, chap. 4, sec. 4.2, p. 435.
15. Carlip 2019, chap. 12, sec. 12.1, p. 101.
16. Ellis, Maartens et MacCallum 2012, chap. 3, sec. 3.3, § 3.3.3, p. 68.
17. Fazio et Rham-Tolley 2023, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.2, p. 25.
18. Maggiore 2018, p. 197.

Bibliographie

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