(où sont des opérateurs de création et d'annihilation, désigne le produit chronologique et désigne le produit antichronologique), au lieu d'une seule fonction de Green dans la théorie d'équilibre. Ces quatre fonctions de Green forment une matrice[3], qui remplace la fonction de Green scalaire dans les lignes des diagrammes de Feynman. Les observables physiques[3] comme la densité de particules ou le courant s'expriment à l'aide de la fonction :
Les termes d'interaction (sommets des diagrammes de Feynman) acquièrent aussi une structure matricielle[8]. En particulier, un terme d'énergie potentielle est représenté par une matrice 2×2 diagonale avec +1 sur la première ligne et -1 sur la deuxième ligne multipliant le potentiel.
Les fonctions de Green hors équilibre peuvent être obtenues en considérant un contour[3]partant de jusqu'à un temps puis retournant en et en définissant un produit chronologique sur ce contour tel que la partie de se situe avant la partie . Lorsque est le produit chronologique,
devient le produit antichronologique. C'est pourquoi on rencontre parfois l'expression[9]closed-time path formalism (formalisme du contour temporel fermé) utilisée comme synonyme du formalisme de Keldysh.
Fonctions de Green avancées, retardées, et fonction de Keldysh
est la fonction de Green de Keldysh qui sert maintenant à exprimer les valeurs moyennes des observables physiques. Dans ces formules le symbole désigne l'anti-commutateur, et le commutateur. Dans cette représentation, les termes d'énergie potentielle sont représentés par une matrice identité multipliant le potentiel.
Comme dans le cas d'équilibre, il est possible de sommer les parties irréductibles de la série donnant la fonction de Green pour obtenir l'équation de Dyson[3]
,
où est la matrice identité. L'opérateur self énergiepossède la même structure matricielle que la fonction de Green. L'équation de Dyson constitue un point de départ pour l'obtention d'équations cinétiques[3].
Intégrales fonctionnelles et Formalisme de Keldysh
Ce formalisme peut aussi être décrit en termes d'intégrales de chemin[10], ce qui permet de le relier à la méthode de Martin-Siggia-Rose pour les systèmes classiques hors d'équilibre.
↑L. V. Keldysh, « Diagram Technique for Nonequilibrium Processes », Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol. 20, , p. 1018 (lire en ligne)
↑R. van Leeuwen, N.E. Dahlen, G. Stefanucci et C.-O. Almbladh, « Introduction to the Keldysh Formalism », dans Time-Dependent Density Functional Theory, vol. 706, Springer Berlin Heidelberg, (ISBN978-3-540-35422-2, DOI10.1007/3-540-35426-3_3, lire en ligne), p. 33–59
↑(en) Antti-Pekka Jauho, « NONEQUILIBRIUM GREEN FUNCTION MODELLING OF TRANSPORT IN MESOSCOPIC SYSTEMS », Progress in Nonequilibrium Green's Functions II, WORLD SCIENTIFIC, , p. 181–197 (ISBN978-981-238-271-9, DOI10.1142/9789812705129_0016, lire en ligne, consulté le )
↑(en) K. A. Milton, Schwinger's Quantum Action Principle : From Dirac's Formulation Through Feynman's Path Integrals, the Schwinger-Keldysh Method, Quantum Field Theory, to Source Theory, Cham, Springer International Publishing, , 116 p. (ISBN978-3-319-20128-3, 3-319-20128-X et 3-319-20127-1, OCLC911054478, lire en ligne)
Réimpression de l'ouvrage publié en 1962 par W. A. Benjamin dans la collection Frontiers in Physics.
↑L. D. Landau, E. M. Lifschitz et L. P. Pitaevskii, Cours de Physique Théorique, t. X : Cinétique Physique, Moscou, Mir, (ISBN5-03-000648-6), p. 472
↑(en) F. Cooper, B. N. Kursunoglu (dir.), S. Mintz (dir.) et A. Perlmutter (dir.), Unified symmetry : in the small and in the large 2, New York, Plenum Press, coll. « Language of science », (lire en ligne), « Nonequilibrium problems in quantum field theory and Schwinger's Closed Time Path formalism », p. 11
↑(en) Alex Kamenev et H. Bouchiat, Y. Gefen, S. Guéron, G. Montambaux et J. Dalibard (dir.), Nanophysics : Coherence and Transport, vol. 81, Amsterdam, Elsevier, coll. « École d'été de Physique des Houches », (ISBN978-0-444-52054-8, ISSN0924-8099, lire en ligne), « Many-body theory of non-equilibrium systems », p. 173