Grassmannienne

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou G_k,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

Généralités

Exemples

• Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
• Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à un hyperplan.
• Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotient

Pour le voir, on note ${\displaystyle GL_{p,n}}$ l'ensemble des matrices de taille (n, p) et de rang p et ${\displaystyle SL_{p,n}}$ la variété de Stiefel des matrices de taille (n, p) dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que ${\displaystyle G_{p,n}}$ est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de ${\displaystyle GL_{p}}$ sur ${\displaystyle GL_{p,n}}$, ainsi qu'à celui de l'action de ${\displaystyle U_{p}}$ (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur ${\displaystyle SL_{p,n}}$.

On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky^[1].

Plongement de Plücker

Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ dans l'espace projectif ${\displaystyle \mathbb {P} (\Lambda ^{p}(\mathbb {R} ^{n}))}$ des produits extérieurs de degré k dans l'espace ℝⁿ prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ⁴.

Recouvrement par des cartes affines

On introduit la base canonique ${\displaystyle (e_{i})_{i\in [[1,n]]}}$ de E = ℝⁿ et l'on note S une k-partie de {1, … , n}, ${\displaystyle E_{1}=E_{S}}$ le sous-espace engendré par les vecteurs ${\displaystyle (e_{i})_{i\in S}}$.

On note ${\displaystyle V_{S}=G_{k,n,S}}$ l'ensemble des supplémentaires de ${\displaystyle E_{2}=E_{S^{c}}}$.

Première étape

Soit V un élément de V_S.

Tout vecteur ${\displaystyle x\in V}$ s'écrit de façon unique ${\displaystyle x=u+v=p(x)+q(x)}$ avec ${\displaystyle u\in E_{1}}$ et ${\displaystyle v\in E_{2}}$. L'application ${\displaystyle V\to E_{1},x\mapsto u}$ est linéaire et injective. Comme V et ${\displaystyle E_{1}}$ ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note ${\displaystyle \phi \in L(E_{1},V)}$ l'isomorphisme réciproque. On a alors ${\displaystyle x=u+q\circ \phi (u)}$ avec ${\displaystyle \psi =q\circ \phi \in L(E_{1},E_{2}).}$

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élément V de ${\displaystyle V_{S}}$, une application ${\displaystyle \psi \in L(E_{1},E_{2})}$, ou encore sa matrice (dans les bases canoniques de E₁ et E₂), ${\displaystyle \psi _{S}(V)\in M_{n-k,k}}$ (l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k).

Cette bijection ${\displaystyle \psi _{S}:G_{k,n,S}=V_{S}\to M_{n-k,k}}$ est une description affine de ${\displaystyle G_{k,n,S}}$, qui est une partie ouverte (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne ${\displaystyle G_{k,n}}$.

Troisième étape

On montre que tout élément de ${\displaystyle G_{k,n}}$ appartient à ${\displaystyle G_{k,n,S}}$ pour au moins une k-partie S, et que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes ${\displaystyle \psi _{T}\circ (\psi _{S})^{-1}}$ induit par les descriptions de ${\displaystyle G_{k,n,S}}$ et ${\displaystyle G_{k,n,T}}$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre ${\displaystyle \psi _{S}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})}$ et ${\displaystyle \psi _{T}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})}$.

Interprétation comme variété algébrique

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à ${\displaystyle G(n-p,n)(\mathbb {R} )}$^[2].

Grassmanniennes euclidiennes

Soit ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ℝⁿ. Dans l'espace ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

• ${\displaystyle A^{2}=A}$ (c'est la matrice d'un projecteur) ;
• ${\displaystyle ^{\rm {t}}A=A}$ (elle est symétrique) ;
• ${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=p}$ (sa trace est p).

On obtient par ce biais une représentation de ${\displaystyle G_{p,n}(\mathbb {R} )}$ comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

Notes et références

1. Jean-Pierre Dedieu, Points Fixes, Zéros et la Méthode de Newton, p. 68-69.
2. Jacek Bochnak, Michel Coste et Marie-Françoise Roy, Géométrie algébrique réelle, p. 64-67.

Voir aussi

Articles connexes

• Fibré tautologique (en)
• Espace classifiant

Bibliographie

• Laurent Lafforgue, Chirurgie des grassmanniennes (lire en ligne)
• Lilian Aveneau, « Les coordonnées de Plücker revisitées », REFIG, vol. 3, n^o 2, 2009, p. 59-68
• Andreas Höring (université Pierre-et-Marie-Curie), feuilles d'exercices sur le plongement de Plücker : Géométrie algébrique et espaces de modules, feuille 3 et Géométrie kählerienne et théorie de Hodge, feuille 1
• Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd., 428 p. (ISBN 978-2-7598-0180-0, lire en ligne), p. 215

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