Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et ${\displaystyle x_{0}}$ un point de X. Soit ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{i}}$. Son bord ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}^{i}={\mathcal {S}}^{i-1}}$ est la sphère unité de dimension ${\displaystyle i-1}$.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$ d'applications continues ${\displaystyle f:{\mathcal {B}}^{i}\to X}$ telle que : ${\displaystyle f({\mathcal {S}}^{i-1})=\{x_{0}\}}$.

Un élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la ${\displaystyle (i-1)}$-sphère vers le point de référence ${\displaystyle x_{0}\in X}$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{i-1}}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ à un point ${\displaystyle s_{0}}$, on obtient une sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}}$ et chaque élément de ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ se définit par les classes d'homotopie des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ par lesquelles le point base ${\displaystyle s_{0}}$ de la sphère se transforme en ${\displaystyle x_{0}}$. On peut dire que les éléments du groupe ${\displaystyle \pi _{i}(X,x_{0})}$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications ${\displaystyle \mathbb {S} ^{i}\to X}$ pour lesquelles on a : ${\displaystyle s_{0}\mapsto x_{0}}$.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{i}}$ avec le cube ${\displaystyle \mathbb {I} ^{i}=[0,1]^{i}}$ de dimension i dans ℝⁱ.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube ${\displaystyle f,g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ est l'application ${\displaystyle f+g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})}$ définie par la formule :

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[0,1/2\right]}$

et

${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[1/2,1\right].}$

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outils

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X.

Soient I^r = [0, 1]^r et J^r = (∂I^r-1 × I) ∪ (I^r-1 × {1}) = ∂I^r \ int(I^r-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif ${\displaystyle \pi _{r}(X,A,x)}$ est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues ${\displaystyle f:(I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})\to (X,A,x)}$ telles que : ${\displaystyle f(I^{r})\subset X}$, ${\displaystyle f(\partial {I^{r}})\subset A}$, ${\displaystyle f(J^{r})=x}$, avec des homotopies de même forme.

• ${\displaystyle \pi _{r}(X,x,x)=\pi _{r}(X,x)}$ donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
• De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
• On a une suite exacte longue :${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(A,x){\xrightarrow {i_{*}}}\pi _{n}(X,x){\xrightarrow {j_{*}}}\pi _{n}(X,A,x){\xrightarrow {d}}\pi _{n-1}(A,x)\rightarrow \cdots }$où i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de ${\displaystyle (I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})}$ à ${\displaystyle I^{r-1}}$.

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration

Soit p : E → B une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)}$.

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés ${\displaystyle \pi _{i}(X,A,x_{0})}$ et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$. Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel ${\displaystyle h_{n}:\pi _{n}(X,A,*)\to H_{n}(X,A)}$.

Si ${\displaystyle A\subset X}$ sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour ${\displaystyle n\geq 2}$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que ${\displaystyle H_{i}(X,A)=0}$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments ${\displaystyle \omega (\beta )-\beta }$ avec ${\displaystyle \omega \in \pi _{1}(A,*)}$ et ${\displaystyle \beta \in \pi _{n}(X,A,*)=1}$ ; en particulier, si ${\displaystyle \pi _{1}(A,*)=1}$, alors ${\displaystyle h_{n}}$ est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, ${\displaystyle n\geq 2}$, on a ${\displaystyle H_{i}(X,*)=0}$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

Théorèmes de périodicité de Bott

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π₁.

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace, est commutatif et l'action du π₁ sur les π_i est triviale.

Voir aussi

Articles connexes

• Groupe de cohomotopie (en)
• Théorème de Kuiper (en)
• Tour de Postnikov

Bibliographie

• Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, 1984 [détail des éditions], vol. 2 et 3
• Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, Jacques Gabay, vol. 9
• (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, 2001, 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)

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