Inégalité de Korn

En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, l'inégalité de Korn est un résultat démontré pour la première fois en 1908 par le physicien allemand Arthur Korn^[1],[2],[3]. Ce résultat, issu des recherches de Korn en théorie de l'élasticité, a depuis été étendu et continue de jouer un rôle important dans cette théorie^[4],[5]. Néanmoins, il s'agit d'abord d'un théorème mathématique portant sur la norme de la jacobienne d'une fonction assez régulière, dont l'utilisation déborde le seul cadre de la physique des matériaux. De fait, des généralisations de cette inégalité et d'inégalités du même type sont au cœur des recherches sur la stabilité des systèmes dynamiques continus et dans l'étude numérique des équations aux dérivées partielles elliptiques^[6].

Énoncé

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un sous-ensemble ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ et à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Supposons qu'est définie sur ${\displaystyle \Omega }$ la matrice jacobienne ${\displaystyle Df}$ de ${\displaystyle f}$. On note alors ${\displaystyle Sf}$ la partie symétrique de la jacobienne, c'est-à-dire ${\displaystyle Sf={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}f_{j}+\partial _{j}f_{i}\right)_{i,j}}$. Alors l'inégalité de Korn donne une majoration de ${\displaystyle \|Df\|_{L^{p}}}$ en fonction de ${\displaystyle \|Sf\|_{L^{p}}}$, pour ${\displaystyle p>1}$, sous des conditions de régularité sur ${\displaystyle f}$. Plus précisément, si ${\displaystyle f\in W_{0}^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})\cap W^{1,p}(\Omega )}$, où ${\displaystyle W^{k,p}}$ désigne l'espace de Sobolev et ${\displaystyle W_{0}^{k,p}}$ sa restriction aux fonctions à support compact, on a $${\displaystyle \|Df\|_{L^{p}}\leq C_{p}\|Sf\|_{L^{p}}}$$avec une constante ${\displaystyle C_{p}>0}$ qui dépend de ${\displaystyle p}$ et de ${\displaystyle \Omega }$ uniquement^[7], et appelée « constante de Korn ».

La démonstration initiale par Korn portait sur deux cas particuliers, avec des hypothèses plus fortes sur ${\displaystyle f}$^[3]. L'inégalité n'est pas vraie pour ${\displaystyle p=1}$ ni pour ${\displaystyle p=+\infty }$ en général^[8].

Démonstration dans un cas simple

Supposons ${\displaystyle f\in H_{0}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, alors en particulier ${\displaystyle Sf}$ est de carré sommable. On rappelle que $${\displaystyle \|v\|_{H^{1}(\Omega )}=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v_{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v_{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}.}$$Une intégration par parties donne immédiatement$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|Sf|^{2}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|Df|^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}(\nabla \cdot f)^{2}}$$avec ${\displaystyle \nabla \cdot f}$ la divergence de ${\displaystyle f}$. De cette expression on tire immédiatement l'inégalité de Korn : $${\displaystyle \|f\|_{H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\sqrt {2}}\|Sf\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}.}$$

Application à la théorie de l'élasticité

La déformation d'un matériau élastique peut être décrite par le tenseur des déformations donné en chaque point du matériau. Pour de petites déformations, une approximation linéaire de ce tenseur suffit, et possède l'expression suivante :$${\displaystyle \varepsilon (v)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v+(\nabla v)^{T}\right)=Sv}$$où ${\displaystyle v}$ est le déplacement. On appelle « ouvert de Korn » un ouvert borné ${\displaystyle \Omega }$ tel que, pour une certaine constante ${\displaystyle C_{K}>0}$,$${\displaystyle \forall v\in H^{1}(\Omega )\quad \|v\|_{H^{1}(\Omega )}\leq C_{K}\left(\|v\|_{L^{2}(\Omega )}+\|\varepsilon (v)\|_{L^{2}(\Omega )}\right).}$$En particulier, un ouvert borné, connexe, de bord lipschitzien, est un ouvert de Korn^[9]. Dans un tel ouvert, l'inégalité de Korn est observée. Ainsi, il est possible de contrôler le champ de déplacements dans le matériau, en n'utilisant qu'une approximation linéaire du tenseur des déformations, qui est souvent plus maniable que le tenseur exact. Il en découle l'existence de modèles relativement simples par exemple pour l'étude des coques élastiques^[10].

Notes et références

1. Arthur Korn, « Solution générale du problème d'équilibre dans la théorie de l'élasticité dans le cas où les efforts sont donnés à la surface », Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 2^e série, vol. 10,‎ 1908, p. 165-269 (lire en ligne).
2. (de) Arthur Korn, « Über einige Ungleichungen, welche in der Theorie der elastischen und elektrischen Schwingungen eine Rolle spielen », Bulletin international de l'Académie de sciences de Cracovie, vol. 3,‎ 1909, p. 705-724.
3. (en) Philippe G. Ciarlet, « On Korn’s inequality », Chin. Ann. Math. Ser. B (en), vol. 31, n^o 5,‎ 1^er septembre 2010, p. 607-618 (DOI 10.1007/s11401-010-0606-3, lire en ligne, consulté le 19 mars 2018).
4. (en) Gaetano Fichera, Linear Theories of Elasticity and Thermoelasticity, Springer, Berlin, Heidelberg, 1973 (ISBN 9783662388532 et 9783662397763, DOI 10.1007/978-3-662-39776-3_3), p. 347-389.
5. G. Duvaut et J.-L. Lions, Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, 1972.
6. Voir par exemple F. Boyer, Analyse numérique des EDP elliptiques, notes de cours du M2 Mathématiques et Applications, Université Paul Cézanne, 2009 (lire en ligne), chap. I.
7. (en) Sergio Conti, Daniel Faraco et Francesco Maggi, « A New Approach to Counterexamples to ${\displaystyle L^{1}}$ Estimates: Korn’s Inequality, Geometric Rigidity, and Regularity for Gradients of Separately Convex Functions », Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 175, n^o 2,‎ 1^er février 2005, p. 287-300 (DOI 10.1007/s00205-004-0350-5).
8. (en) Donald Ornstein, « A non-inequality for differential operators in the ${\displaystyle L^{1}}$ norm », Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 11, n^o 1,‎ 1^er janvier 1962, p. 40-49 (DOI 10.1007/bf00253928).
9. J. Gobert, « Une inégalité fondamentale de la théorie de l’élasticité. » Bull. Soc. Roy. Sci. Liege, vol. 31, 1962, p. 182-191.
10. Voir à ce sujet Sorin Mardare, Sur quelques problèmes de géométrie différentielle liés à la théorie de l'élasticité, thèse de doctorat, Université Paris VI, 2003 (lire en ligne).

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