Intégrale elliptique

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme ${\displaystyle f(x)=\int _{x_{0}}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\mathrm {d} t}$ où ${\displaystyle R}$ est une fonction rationnelle à deux variables, ${\displaystyle P}$ est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et ${\displaystyle x_{0}}$ est une constante ; autrement dit ${\displaystyle f(x)=\int _{x_{0}}^{x}{A(t)+B(t){\sqrt {P(t)}} \over C(t)+D(t){\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t}$ où ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ sont des polynômes quelconques.

Formes canoniques

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent d'exprimer les intégrales elliptiques en fonction de seulement trois formes canoniques^[1] appelées intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce où ${\displaystyle 0<k<1}$ et qui s'écrivent souvent ainsi^[4] :

espèce	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\end{aligned}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left]-\infty ;\infty \right[\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}$	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}k^{2}&\in \left[0;1\right]\\\cap \\\varphi &\in \left]-\infty ;\infty \right[\end{aligned}}}$	Forme de Legendre	Forme de Jacobi
1^re	${\displaystyle F\left(\varphi \,,\,k\right)}$	${\displaystyle =F\left(\sin \varphi \,;\,k\right)}$	${\displaystyle =F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)}$	${\displaystyle =F\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}$
2^e	${\displaystyle E\left(\varphi \,,\,k\right)}$	${\displaystyle =E\left(\sin \varphi \,;\,k\right)}$	${\displaystyle =E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)}$	${\displaystyle =E\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$
3^e	${\displaystyle \Pi \left(n\,,\,\varphi \,,\,k\right)}$	${\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\sin \varphi \,;\,k\right)}$	${\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\varphi \,|\,k^{2}\right)}$	${\displaystyle =\Pi \left(n\,,\,\varphi \setminus \arcsin k\right)}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\varphi }\scriptstyle {\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{0}^{\sin \varphi }\scriptstyle {\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}$

On prendra garde en particulier à ne pas confondre la virgule avec le point-virgule. La notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques où ${\displaystyle \varphi \in \left[-\pi /2;\pi /2\right]}$. En utilisant ${\displaystyle m}$ au lieu de ${\displaystyle k^{2}}$, l'ensemble de définition est étendu à ${\displaystyle m<0}$, mais de toute façon, on peut toujours se ramener à une forme où ${\displaystyle k\in ]0;1[}$. ${\displaystyle n\in \mathbb {C} }$. Il est aussi défini^{[B 1]} :

${\displaystyle D\left(\varphi \,,\,k\right)=D\left(\sin \varphi \,;\,k\right)=D\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=D\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}{\stackrel {t=\sin \theta }{=}}\int _{=0}^{\sin \varphi }{\frac {t^{2}\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}$

Vocabulaire

On appelle :

• ${\displaystyle k\in ]0;1[}$ le module elliptique ou excentricité
• ${\displaystyle m=k^{2}}$ le paramètre
• ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ le comodule
• ${\displaystyle \arcsin k}$ l'angle modulaire
• ${\displaystyle \varphi }$ l'amplitude
• ${\displaystyle n}$ la caractéristique

L'intégrale est dite :

• incomplète si ${\displaystyle \varphi }$ est quelconque
• complète si ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$

Les intégrales elliptiques complètes de 1^re, 2^e et 3^e espèce sont respectivement^[5] :

${\displaystyle {\begin{aligned}K\left(k\right)&=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\\E\left(k\right)&=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\\\Pi \left(n,k\right)&=\Pi \left(n,{\tfrac {\pi }{2}},k\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}\left(m\right)&=F\left({\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\\E_{m}\left(m\right)&=E\left({\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\\\Pi \left(n\,|\,m\right)&=\Pi \left(n,{\tfrac {\pi }{2}}|m\right)\end{aligned}}}$

On définit aussi^[6] :

${\displaystyle {\begin{aligned}K'\left(k\right)&=K\left(k'\right)\\E'\left(k\right)&=E\left(k'\right)\\\Pi '\left(k\right)&=\Pi \left(k'\right)\end{aligned}}}$

On définit^{[A 2]} :

${\displaystyle \Delta =\Delta (\theta )=\Delta (\theta ,k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

Le "nom elliptique"^{[traduction souhaitée 1]} ou grandeur d'expansion jacobienne est la fonction spéciale :

${\displaystyle q\left(k\right)=\exp \left[-\pi {\frac {K'\left(k\right)}{K\left(k\right)}}\right]}$

Graphiques

Intégrales complètes

${\displaystyle K(k)}$

${\displaystyle E(k)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)}$ pour différentes valeurs de ${\displaystyle n}$

${\displaystyle K_{m}(m)}$ et ${\displaystyle E_{m}(m)}$
La pente n'est pas nulle en 0.

pointillés	ligne continue	tirets
${\displaystyle \color {red}f\left(\theta \,,\,k\right)={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \color {orange}F\left(\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }f\left(\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \color {brown}K\left(k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\mathrm {d} \theta }$
${\displaystyle \color {blue}e\left(\theta \,,\,k\right)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \color {cyan}E\left(\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }e\left(\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \color {purple}E\left(k\right)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\mathrm {d} \theta }$
${\displaystyle \color {green}\pi \left(n\,,\,\theta \,,\,k\right)={\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \definecolor {lightGreen}{rgb}{0,1,0.25098039215686274}\color {lightGreen}\Pi \left(n\,,\,\varphi \,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }\pi \left(n\,,\,\theta \,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }$	${\displaystyle \color {black}\Pi \left(n\,,\,k\right)=\int _{0}^{\varphi }\pi \left(n\,,\,{\tfrac {\pi }{2}}\,,\,k\right)\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle k=0{,}8}$ et ${\displaystyle n=0{,}5}$. Cliquer pour modifier ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F(\varphi |m)}$ pour diverses valeurs de ${\displaystyle m}$

${\displaystyle E(\varphi |m)}$ pour diverses valeurs de ${\displaystyle m}$

Historique

L'intégrale est appelée elliptique car des intégrales de cette forme apparaissent lors du calcul du périmètre des ellipses et de la surface des ellipsoïdes. Il existe également des applications de grande envergure en physique. Par exemple :

• Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce^[7].
• Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique, comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique...)^[7].

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux applications réciproques de ces intégrales ou découlant de ces applications réciproques : les fonctions elliptiques de Jacobi, les fonctions elliptiques de Weierstrass et les fonctions elliptiques d'Abel.

Nombres d'espèces

Adrien-Marie Legendre a montré que des changements de variables permettent de ramener les intégrales de la forme^{[A 3]} ${\displaystyle f(x)=\int _{x_{0}}^{x}{A(t)+B(t){\sqrt {P(t)}} \over C(t)+D(t){\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t}$ aux trois formes canoniques sus-mentionnées.

Décomposition en éléments simples

En effet, on peut décomposer l'intégrande ainsi :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {A(t)C(t)-B(t)D(t)P(t)}{C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[B(t)C(t)-A(t)D(t)\right]P(t)}{\left[C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)\right]{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}E(t)\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {F(t)}{I(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {G(t)}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {H(t)}{I(t){\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\rho _{i}\int _{x_{0}}^{x}t^{i}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\kappa _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\left[\rho _{i}{\frac {t^{i+1}}{i+1}}\right]_{x_{0}}^{x}+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\left[{\begin{matrix}\left(p_{i}=1\right)\kappa _{i}\ln \left(t-t_{i}\right)\\+\left(p_{i}\neq 1\right){\frac {-\kappa _{i}}{\left(p_{i}-1\right)\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}-1}}}\end{matrix}}\right]_{x_{0}}^{x}+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle I}$ sont des polynômes tels que ${\displaystyle \deg(F)\leqslant \deg(I)-1}$ et ${\displaystyle \deg(H)\leqslant \deg(I)-1}$ et ${\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \,t+\gamma \,t^{2}+\delta \,t^{3}+\epsilon \,t^{4}}$. Il reste deux intégrales à calculer.

Réduction du degré des polynômes

Chacune des intégrales du troisième terme peut se ramener à une expression de la forme :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+bt+c}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$

Démonstration

On pose :

${\displaystyle \Gamma ^{i}(x)=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$

Legendre fait remarquer que, puisque :

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i-3}{\sqrt {P(x)}}-x_{0}^{i-3}{\sqrt {P(x_{0})}}&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[t^{i-3}{\sqrt {P(t)}}\right]\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[(i-3)P(t)+{\tfrac {1}{2}}tP'(t)\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[{\begin{aligned}(i-3)\left(\alpha +\beta \,t+\;\,\gamma \,t^{2}+\;\;\delta \,t^{3}+\;\;\epsilon \,t^{4}\right)\\+{\tfrac {1}{2}}\;\left(\qquad \beta t+2\gamma \,t^{2}+3\delta \,t^{3}+4\epsilon \,t^{4}\right)\end{aligned}}\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\left[\left(i-3\right)\alpha +\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,t+\left(i-2\right)\gamma \,t^{2}+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,t^{3}+\left(i-1\right)\epsilon \,t^{4}\right]t^{i-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\left(i-3\right)\alpha \,\Gamma ^{i-4}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{i-3}(x)+\left(i-2\right)\gamma \,\Gamma ^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{i-1}(x)+\left(i-1\right)\epsilon \,\Gamma ^{i}(x)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \Gamma ^{i}(x)={\frac {x^{i-3}{\sqrt {P(x)}}-x_{0}^{i-3}{\sqrt {P(x_{0})}}-\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{i-1}(x)-\left(i-2\right)\gamma \,\Gamma ^{i-2}(x)-\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{i-3}(x)-\left(i-3\right)\alpha \,\Gamma ^{i-4}(x)}{(i-1)\epsilon }}}$

${\displaystyle \Gamma ^{i}}$ peut s'exprimer en fonction de ${\displaystyle \Gamma ^{i-1}}$, et à son tour, ${\displaystyle \Gamma ^{i-1}}$ en fonction de ${\displaystyle \Gamma ^{i-2}}$, etc. jusqu'à ${\displaystyle \Gamma ^{3}}$ qu'on peut encore exprimer en fonction de ${\displaystyle \Gamma ^{2}}$, ${\displaystyle \Gamma ^{1}}$ et ${\displaystyle \Gamma ^{0}}$ puisque le dernier terme est nul.

Chacune des intégrales du quatrième terme peut se ramener à une expression de la forme :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+bt+c+{\frac {d}{t-r}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$

Démonstration

Si on pose ${\displaystyle \omega =t-r}$, on a :

${\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \left(\omega +r\right)+\gamma \left(\omega +r\right)^{2}+\delta \left(\omega +r\right)^{3}+\epsilon \left(\omega +r\right)^{4}=\alpha '+\beta '\omega +\gamma '\omega ^{2}+\delta '\omega ^{3}+\epsilon '\omega ^{4}=P_{\omega }\left(\omega \right)}$

On pose :

${\displaystyle \Upsilon _{r}^{i}(x)=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {1}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\,\mathrm {d} \omega }$

et on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x-r)}}{\left(x-r\right)^{i-1}}}+{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x_{0}-r)}}{\left(x_{0}-r\right)^{i-1}}}&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\left[-\omega ^{1-i}{\sqrt {P_{\omega }\left(\omega \right)}}\right]\mathrm {d} \omega =\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {(i-1)P_{\omega }(\omega )-{\tfrac {1}{2}}\omega P_{\omega }'(\omega )}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\left[{\begin{aligned}(i-1)\left(\alpha '+\beta '\omega +\;\;\,\gamma '\omega ^{2}+\;\;\delta '\omega ^{3}+\;\;\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\-{\tfrac {1}{2}}\left(\qquad \;\beta '\omega +2\,\gamma '\omega ^{2}+3\,\delta '\omega ^{3}+4\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\\end{aligned}}\right]}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{x_{0}-r}^{x-r}{\frac {\left[\left(i-1\right)\alpha '+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\omega +\left(i-2\right)\gamma '\omega ^{2}+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\omega ^{3}+\left(q_{i}-3\right)\epsilon '\omega ^{4}\right]}{\omega ^{i}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\left(i-1\right)\alpha '\,\Upsilon _{r}^{i}(x)+\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{r}^{i-1}(x)+\left(i-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{r}^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{r}^{i-3}(x)+\left(i-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{r}^{i-4}(x)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \Upsilon _{r}^{i}(x)={\frac {-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x-r)}}{\left(x-r\right)^{i-1}}}+{\frac {\sqrt {P_{\omega }(x_{0}-r)}}{\left(x_{0}-r\right)^{i-1}}}-\left(i-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{r}^{i-1}(x)+\left(i-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{r}^{i-2}(x)+\left(i-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{r}^{i-3}(x)+\left(i-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{r}^{i-4}(x)}{(i-1)\alpha '}}}$

Ici encore, les ${\displaystyle \Upsilon _{r}^{i}}$ peuvent s'exprimer en fonction de ${\displaystyle \Upsilon _{r}^{1}}$, ${\displaystyle \Upsilon _{r}^{0}}$, ${\displaystyle \Upsilon _{r}^{-1}}$ et ${\displaystyle \Upsilon _{r}^{-2}}$.

Si ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \delta }$ et ${\displaystyle \epsilon }$ sont réels, et si on veut qu'ils le restent, alors si ${\displaystyle r}$ est réel, on peut faire disparaître le quatrième terme du numérateur en posant :

${\displaystyle z={\frac {1}{t-r}}\Leftrightarrow t={\frac {1}{z}}+r}$

Élimination des puissances impaires du radical

On peut ensuite faire disparaître les puissances impaires sous le radical. Si on écrit :

${\displaystyle P(t)=\alpha +\beta \,t+\gamma \,t^{2}+\delta \,t^{3}+\epsilon \,t^{4}=\left(\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}\right)\left(\alpha _{2}+2\beta _{2}t+\gamma _{2}t^{2}\right)=\epsilon \,\left(t-t_{a}\right)\left(t-t_{b}\right)\left(t-t_{c}\right)\left(t-t_{d}\right)}$

• Une première méthode est de poser :

${\displaystyle y={\sqrt {\frac {\alpha _{2}+2\beta _{2}t+\gamma _{2}t^{2}}{\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}}}}\Rightarrow {\sqrt {P(t)}}=\left(\alpha _{1}+2\beta _{1}t+\gamma _{1}t^{2}\right)y}$

Ainsi, on a :

${\displaystyle t={\frac {\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\pm {\sqrt {\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}}}{\gamma _{2}-\gamma _{1}\,y^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} t=y\left[{\tfrac {2\,\gamma _{1}\,\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)-2\,\beta _{1}\,\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}{\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)^{2}}}\pm {\tfrac {\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)\left[2\left(\alpha _{1}\gamma _{1}-\beta _{1}^{2}\right)y^{2}+2\,\beta _{1}\beta _{2}\,+\alpha _{1}\gamma _{2}-\alpha _{2}\gamma _{1}\right]+2\gamma _{1}\left[\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)\right]}{\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)^{2}{\sqrt {\left(\beta _{1}\,y^{2}-\beta _{2}\right)^{2}-\left(\alpha _{1}\,y^{2}-\alpha _{2}\right)\left(\gamma _{1}\,y^{2}-\gamma _{2}\right)}}}}\right]\mathrm {d} y}$

• Une deuxième méthode qui permet d'avoir ${\displaystyle P(t)=\left(\alpha _{3}+\gamma _{3}y^{2}\right)\left(\alpha _{4}+\gamma _{4}y^{2}\right)}$ (ce qui n'est pas immédiatement le cas avec la première méthode) est de poser :

${\displaystyle t={\frac {p+q\,y}{1+y}}}$

Si ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \delta }$ et ${\displaystyle \epsilon }$ sont réels, alors on peut toujours trouver deux réels ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ qui permettent d'écrire ${\displaystyle P(y)}$ sans puissances impaires de ${\displaystyle y}$.

Démonstration

Deux cas se présentent :

• ${\displaystyle P(t)}$ a des racines non réelles.

En réinjectant l'expression de ${\displaystyle t}$ dans les deux facteurs de ${\displaystyle P(t)}$, puis en faisant abstraction du dénominateur commun, les puissances impaires de ${\displaystyle y}$ disparaissent si :

${\displaystyle {\begin{cases}\alpha _{1}\,+\beta _{1}\,\left(p+q\right)+\gamma _{1}\,p\,q=0\\\alpha _{2}\,+\beta _{2}\,\left(p+q\right)+\gamma _{2}\,p\,q=0\end{cases}}}$

Si on suppose que ${\displaystyle \alpha _{1}+2\,\beta _{1}\,t+\gamma _{1}\,t^{2}}$ contient deux racines complexes, puisqu'on a ${\displaystyle \beta _{1}^{2}-\alpha _{1}\,\gamma _{1}<0}$, on a :

${\displaystyle \left(p-q\right)^{2}=\left(p+q\right)^{2}-4p\,q=\left({\frac {\alpha _{1}+\gamma _{1}\,p\,q}{\beta _{1}}}\right)^{2}-4\,p\,q=\left({\frac {\alpha _{1}+\gamma _{1}\,p\,q}{\beta _{1}}}-{\frac {2\beta _{1}}{\gamma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {4\,\alpha _{1}\gamma _{1}-4\,\beta _{1}^{2}}{\gamma _{1}^{2}}}>0\Rightarrow p,q\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle P(t)}$ a toutes ses racines réelles.

La paire d'équation se réécrit :

${\displaystyle {\begin{cases}t_{a}t_{b}-{\frac {1}{2}}\left(t_{a}+t_{b}\right)\left(p+q\right)+p\,q=0\\t_{c}t_{d}-{\frac {1}{2}}\left(t_{c}+t_{d}\right)\left(p+q\right)+p\,q=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}p+q={\frac {2\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}\\p\,q=-t_{c}t_{d}+{\frac {\left(t_{c}+t_{d}\right)\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}={\frac {t_{a}t_{b}t_{c}+t_{a}t_{b}t_{d}-t_{a}t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}t_{d}}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}&=\left({\frac {p+q}{2}}\right)^{2}-pq={\tfrac {\left(t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\right)^{2}+\left(-t_{a}t_{b}t_{c}-t_{a}t_{b}t_{d}+t_{a}t_{c}t_{d}+t_{b}t_{c}t_{d}\right)\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\\&={\tfrac {2t_{a}t_{b}t_{c}t_{d}+t_{a}^{2}t_{b}^{2}+t_{c}^{2}t_{d}^{2}+t_{a}^{2}\left(t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}-t_{b}t_{d}\right)+t_{b}^{2}\left(t_{c}t_{d}-t_{a}t_{c}-t_{a}t_{d}\right)+t_{c}^{2}\left(t_{a}t_{b}-t_{a}t_{d}-t_{b}t_{d}\right)+t_{d}^{2}\left(t_{a}t_{b}-t_{a}t_{c}-t_{b}t_{c}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\\&={\tfrac {\left(t_{a}^{2}+t_{c}t_{d}-t_{a}t_{c}-t_{a}t_{d}\right)\left(t_{b}^{2}+t_{c}t_{d}-t_{b}t_{c}-t_{b}t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}={\tfrac {\left(t_{a}-t_{c}\right)\left(t_{a}-t_{d}\right)\left(t_{b}-t_{c}\right)\left(t_{b}-t_{d}\right)}{\left(t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow p,q={\frac {t_{a}t_{b}-t_{c}t_{d}\pm {\sqrt {\left(t_{a}-t_{c}\right)\left(t_{a}-t_{d}\right)\left(t_{b}-t_{c}\right)\left(t_{b}-t_{d}\right)}}}{t_{a}+t_{b}-t_{c}-t_{d}}}}$

Si ${\displaystyle t_{a}\geqslant t_{c}\geqslant t_{b}\geqslant t_{d}}$, ${\displaystyle p,q\notin \mathbb {R} }$. Mais si ${\displaystyle t_{a}\geqslant t_{b}\geqslant t_{c}\geqslant t_{d}}$ ou si ${\displaystyle t_{a}\geqslant t_{c}\geqslant t_{d}\geqslant t_{b}}$, ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$. Il y a trois façons d'exprimer ${\displaystyle P(t)}$ : une façon donnera ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ imaginaires et deux façons donneront ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ réels.

Élimination des puissances impaires de la fonction rationnelle

En posant ${\displaystyle t_{1}=t^{2}}$, on a ${\displaystyle \mathrm {d} t_{1}=2\,t\,\mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {b\,t}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$ s'exprime avec des fonctions trigonométriques ou hyperboliques.

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {bt}{\sqrt {a't^{4}+2b't^{2}+c'}}}\mathrm {d} t&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {bt}{\sqrt {a'\left(t^{2}+{\frac {b'}{a'}}+{\frac {\sqrt {b'^{2}-a'c'}}{a'}}\right)\left(t^{2}+{\frac {b'}{a'}}-{\frac {\sqrt {b'^{2}-a'c'}}{a'}}\right)}}}\mathrm {d} t\\&{\stackrel {t_{1}=t^{2}+{\frac {b'}{a'}}}{=}}\int _{x_{0}^{2}+{\frac {b'}{a'}}}^{x^{2}+{\frac {b'}{a'}}}{\frac {b}{2{\sqrt {a'\left(t_{1}^{2}-{\frac {b'^{2}-a'c'}{a'^{2}}}\right)}}}}\mathrm {d} t_{1}\\&={\frac {b}{2}}{\sqrt {\frac {-a'}{b'^{2}-a'c'}}}\int _{t_{1}=x_{0}^{2}+{\frac {b'}{a'}}}^{x^{2}+{\frac {b'}{a'}}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {a'^{2}}{b'^{2}-a'c'}}t_{1}^{2}}}}\mathrm {d} t_{1}{\stackrel {t_{2}={\frac {a'}{\sqrt {b'^{2}-a'c'}}}t_{1}}{=}}{\frac {b}{2{\sqrt {-a'}}}}\int _{\frac {a'x_{0}^{2}+b'}{\sqrt {b'^{2}-a'c'}}}^{\frac {a'x^{2}+b'}{\sqrt {b'^{2}-a'c'}}}{\frac {1}{\sqrt {1-t_{2}^{2}}}}\mathrm {d} t_{2}\\&={\frac {b}{2{\sqrt {-a'}}}}\left[\arcsin {\frac {a'x^{2}+b'}{\sqrt {b'^{2}-a'c'}}}-\arcsin {\frac {a'x_{0}^{2}+b'}{\sqrt {b'^{2}-a'c'}}}\right]\end{aligned}}}$

Puisqu'on a ${\displaystyle x=\sin y={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y}}{2\mathrm {i} }}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\mathrm {i} y}-2\,\mathrm {i} \,x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y}-1=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$ et ${\displaystyle \arcsin x\in [-\pi /2;\pi /2]}$, on a :

${\displaystyle \arcsin x=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\Rightarrow {\begin{cases}x\in [-1;1]&\Rightarrow \arcsin x=\arcsin x\\x\notin [-1;1],x\in \mathbb {R} &\Rightarrow \arcsin x=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+\mathrm {i} {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\mathrm {i} x\in \mathbb {R} &\Rightarrow \arcsin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)=\mathrm {i} \operatorname {argsh} x\end{cases}}}$

De même, ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d}{t-r}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$ se transformera en ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {d'\mathrm {d} t}{\left(1-n\,t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}}$.

Démonstration

On pose :

${\displaystyle {\begin{cases}d'&=-{\frac {d}{r}}\\n&={\frac {1}{r^{2}}}\end{cases}}}$

On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d}{t-r}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\frac {d\left(t+r\right)}{t^{2}-r^{2}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t&{\stackrel {t_{1}=t^{2}}{=}}-{\frac {d}{r}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\left(1-{\frac {1}{r^{2}}}t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}+{\frac {d}{2}}\int _{t_{1}=t^{2}=x_{0}^{2}}^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} t_{1}}{\left(t_{1}-r^{2}\right){\sqrt {a't_{1}^{2}+2b't_{1}+c'}}}}\\&{\stackrel {t_{2}=t_{1}+{\frac {b'}{a'}}}{=}}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {d'\mathrm {d} t}{\left(1-n\,t^{2}\right){\sqrt {P(t)}}}}+{\frac {d}{2}}\int _{x_{0}^{2}+{\frac {b'}{a'}}}^{x^{2}+{\frac {b'}{a'}}}{\frac {\mathrm {d} t_{2}}{\left(t_{2}-{\frac {b'}{a'}}-r^{2}\right){\sqrt {a't_{2}^{2}-{\frac {b'^{2}-a'c'}{a'}}}}}}\end{aligned}}}$

Et :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} t}{\left(t-a\right){\sqrt {t^{2}-b}}}}&=\int {\frac {1}{\sqrt {b-a^{2}}}}{\frac {1}{1+{\frac {\left(a\,t-b\right)^{2}}{\left(b-a^{2}\right)\left(t^{2}-b\right)}}}}{\frac {a{\sqrt {b-a^{2}}}\left(t^{2}-b\right)-\left(a\,t-b\right){\sqrt {b-a^{2}}}\,t}{\left(b-a^{2}\right)\left(t^{2}-b\right)^{3/2}}}\mathrm {d} t\\&={\begin{cases}{\dfrac {\arctan {\frac {a\,t-b}{{\sqrt {b-a^{2}}}{\sqrt {t^{2}-b}}}}}{\sqrt {b-a^{2}}}}&{\text{si }}b-a^{2}>0\\[4pt]-{\dfrac {\operatorname {argth} {\frac {a\,t-b}{{\sqrt {a^{2}-b}}{\sqrt {t^{2}-b}}}}}{\sqrt {a^{2}-b}}}&{\text{si }}b-a^{2}<0\\[4pt]-{\dfrac {{\sqrt {2}}\operatorname {argth} {\sqrt {\frac {t+a}{2a}}}}{\sqrt {a}}}&{\text{si }}b-a^{2}=0{\text{ et }}a\neq 0\\[4pt]-{\dfrac {1}{t}}&{\text{si }}a=b=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

Enfin, si ${\displaystyle a'<0\Leftrightarrow t^{2}-b<0}$, on utilisera encore ${\displaystyle \arctan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {argth} x}$ et le résultat sera toujours réel.

Expression sous une forme trigonométrique

Soit ${\displaystyle a',b',c'\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle 0<k<1}$. On peut toujours avoir :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {a't^{4}+2b't^{2}+c'}}}={\frac {N\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

Démonstration

Si ${\displaystyle b'^{2}-a'c'\leqslant 0}$, on peut écrire ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b'}{\sqrt {a'c'}}}}$ et poser ${\displaystyle \theta =2\arctan \left({\sqrt[{4}]{\frac {a'}{c'}}}t\right)\Leftrightarrow t={\sqrt[{4}]{\frac {c'}{a'}}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$. Ainsi :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}&={\frac {{\sqrt[{4}]{\frac {c'}{a'}}}\mathrm {d} \theta }{2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}{\sqrt {c'}}{\sqrt {\tan ^{4}{\frac {\theta }{2}}+2\cos \alpha \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}+1}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}{\sqrt {\cos ^{4}{\frac {\theta }{2}}+2\left(1-2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\right)\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{4}{\frac {\theta }{2}}}}}}\\&={\frac {\mathrm {d} \theta }{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{a'c'}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\theta }}}\end{aligned}}}$

Sinon, on posera ${\displaystyle t^{2}={\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}$ (où ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ sont 4 nouvelles grandeurs) et plusieurs cas se présentent :

• ${\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;p^{2}\right]\cup \left[q^{2};\infty \right[}$. ${\displaystyle p\leqslant q}$. On pose :

${\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {t}{p}}\Leftrightarrow t=p\,\sin \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {p\,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta }{s\,p\,\cos \theta {\sqrt {q^{2}-p^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$ pour ${\displaystyle t^{2}\in \left[0;p^{2}\right]}$

${\displaystyle \theta =-\arcsin {\frac {q}{t}}\Leftrightarrow t=-{\frac {q}{\sin \theta }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {q\,\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,q\,\cos \theta {\sqrt {q^{2}-p^{2}\sin ^{2}\theta }}}{\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$ pour ${\displaystyle t^{2}\in \left[q^{2};\infty \right[}$

• ${\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[q^{2};\infty \right[}$. On pose :

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {q}{t}}\Leftrightarrow t={\frac {q}{\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {q\,\sin \theta }{\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,q\,\sin \theta {\sqrt {q^{2}+p^{2}\cos ^{2}\theta }}}{\cos ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {p^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$

• ${\displaystyle P(t)=\;\;\,s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}+q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;\infty \right[}$. ${\displaystyle p\leqslant q}$. On pose :

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {t}{p}}\Leftrightarrow t=p\,\tan \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {p}{\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,p{\sqrt {q^{2}+p^{2}\tan ^{2}\theta }}}{\cos \theta }}}={\frac {1}{s\,q}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}-p^{2}}{q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$

• ${\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[p^{2};q^{2}\right[}$. ${\displaystyle p\leqslant q}$. On pose :

${\displaystyle \theta =\pi -\arccos {\frac {t}{q}}\Leftrightarrow t=-q\cos \theta \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {q\sin \theta \;\mathrm {d} \theta }{s\,q\left(q^{2}\cos ^{2}\theta -p^{2}\right)\sin \theta }}={\frac {1}{s{\sqrt {q^{2}-p^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{q^{2}-p^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$

• ${\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \left[0;q^{2}\right[}$. On pose :

${\displaystyle \theta =\arcsin {\sqrt {\frac {\left(p^{2}+q^{2}\right)t^{2}}{q^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)}}}\Leftrightarrow t={\frac {p\,q\sin \theta }{\sqrt {p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta }}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {P(t)}}}={\frac {{\frac {p\,q\left(p^{2}+q^{2}\right)\cos \theta }{\left(p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\mathrm {d} \theta }{\frac {s\,p\,q\left(p^{2}+q^{2}\right)\cos \theta }{p^{2}+q^{2}\cos ^{2}\theta }}}={\frac {1}{s{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\sin ^{2}\theta }}}}$

• ${\displaystyle P(t)=-s^{2}\left(t^{2}+p^{2}\right)\left(t^{2}+q^{2}\right)\Rightarrow t^{2}\in \varnothing }$. On n'intègre pas car ${\displaystyle P(t)\leqslant 0}$.

Forme canonique

Si les racines ${\displaystyle t^{2}}$ de ${\displaystyle P(t)=a't^{4}+2b't^{2}+c'=a'\left(t^{2}-p^{2}\right)\left(t^{2}-q^{2}\right)}$ sont réelles, c.-à-d. si ${\displaystyle p^{2}}$ et ${\displaystyle q^{2}}$ sont réels, on devra résoudre une expression de la forme ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {at^{2}+c+{\frac {d}{1-n\,t^{2}}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t}$ avec ${\displaystyle t^{2}={\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}$, ce qui donnera :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{0}}^{x}{\frac {{\frac {a\,A-a\,B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}+c+{\frac {d\,C-d\,D\sin ^{2}\theta }{\left(C-n\,A\right)-\left(D-n\,B\right)\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta &=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {{\frac {a\,B}{D}}+{\frac {\left(A\,D-B\,C\right)}{D}}{\frac {1}{C-D\sin ^{2}\theta }}+c+{\frac {d\,D}{D-n\,B}}+{\frac {n\,d\,\left(A\,D-B\,C\right)}{D-n\,B}}{\frac {1}{\left(C-n\,A\right)-\left(D-n\,B\right)\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta \\&=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c+{\frac {a\,B}{D}}+{\frac {d\,D}{D-n\,B}}+{\frac {\left(A\,D-B\,C\right)}{DC}}{\frac {1}{1-{\frac {D}{C}}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {n\,d\,\left(A\,D-B\,C\right)}{\left(D-n\,B\right)\left(C-n\,A\right)}}{\frac {1}{1-{\frac {D-n\,B}{C-n\,A}}\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta \end{aligned}}}$

si ${\displaystyle D\neq 0}$ et si ${\displaystyle D-n\,B\neq 0}$, sinon il restera en plus un terme multipliant ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$. Ainsi, on sera amené à résoudre : ${\displaystyle \int _{0}^{\varphi }{\frac {a_{1}+a_{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)+\sum _{i}a_{3,i}{\frac {1}{1-n_{i}\sin ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\mathrm {d} \theta =a_{1}F\left(\varphi ,k\right)+a_{2}E\left(\varphi ,k\right)+\sum _{i}\Pi \left(n_{i},\varphi ,k\right)}$

Si les racines ${\displaystyle t^{2}}$ de ${\displaystyle P(t)}$ ne sont pas réelles, ${\displaystyle t^{2}}$ ne peut pas être exprimé sous la forme ${\displaystyle {\frac {A-B\sin ^{2}\theta }{C-D\sin ^{2}\theta }}}$^{[A 2]}, mais on peut toujours exprimer une intégrale elliptique à l'aide des trois intégrales sus-mentionnées^{[8][Comment ?]}.

Autres écritures

Avec des intégrales

Des changements de variable donnent d'autres expressions :

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi }{\sqrt {(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2})}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})[1+(1-k^{2})u^{2}]}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi }{\sqrt {(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})[1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}]}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\E(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}{(1+u^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}{(1+u^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} v\\\Pi (n,\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-u^{2}\right)\left(1-k^{2}u^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad =\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{1+(1-n)u^{2}}}{\frac {\sqrt {1+u^{2}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \quad \;=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1+(1-n)\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2(1+u^{2})^{2}}{(1+u^{2})^{2}-4nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4n\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\mathrm {d} v\end{aligned}}}$

Avec une série de Taylor-MacLaurin

1^re espèce

On peut utiliser son développement en série entière, ${\displaystyle \forall k^{2}\in ]-\infty ;1[}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\}\end{aligned}}}$

où :

• ${\displaystyle P_{n}(x)}$ sont les polynômes de Legendre ;
• ${\displaystyle \operatorname {CBC} (n)}$ sont les coefficients binomiaux centraux ;
• ${\displaystyle C_{n}^{p}}$ sont les coefficients binomiaux ;
• ${\displaystyle n!!}$ est la double factorielle (en considérant ici que ${\displaystyle (-1)!!=1}$) ;
• ${\displaystyle n!}$ est la factorielle.

Démonstration

${\displaystyle \left(1+x\right)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}}x^{n}+o(x^{n})}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)\right]x^{n}}{2^{n}n!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)^{2}\right]x^{n}}{\left(2n\right)!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}x^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}x^{n}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)\right]x^{n}}{\left(1-2n\right)2^{n}n!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)^{2}\right]x^{n}}{\left(1-2n\right)\left(2n\right)!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!}{\left(1-2n\right)2^{2n}n!^{2}}}x^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{2n}^{n}}{\left(1-2n\right)2^{2n}}}x^{n}}$

car :

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)=\mathrm {e} ^{\sum \limits _{n=0}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2n}}\right)}=\mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}+\sum \limits _{n=n_{0}}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2n}}\right)}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}-\sum \limits _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {1}{2n}}}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}-\left[{\frac {\ln {n}}{2}}\right]_{n_{0}}^{\infty }}\sim 0\ \Rightarrow \ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}=0}$

On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}~\int _{\theta =0}^{\pi /2}\sin ^{2n}\theta \,\mathrm {d} \theta &=\int _{\theta =0}^{\pi /2}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2i}}\right)^{2n}\,\mathrm {d} \theta =\int _{\theta =0}^{\pi /2}\sum \limits _{j=0}^{2n}C_{2n}^{j}{\frac {\left(-1\right)^{j}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)\theta }}{2^{2n}\left(-1\right)^{n}}}\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{2^{2n}}}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}\left(-1\right)^{j}C_{2n}^{j}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)\theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \left(2n-2j\right)\theta }}{\left(-1\right)^{n}}}+C_{2n}^{n}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j}C_{2n}^{j}\cos \left[\left(2n-2j\right)\theta \right]}{2^{2n-1}}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j+1}C_{2n}^{j}\sin \left[\left(2n-2j\right)\theta \right]}{2^{2n-1}\left(2n-2j\right)}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\theta \right]_{\theta =0}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\end{aligned}}}$

Donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\pi }{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}\\\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta &={\frac {\pi }{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle k^{2}<0}$, en utilisant la transformation gaussienne décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où ${\displaystyle k\in ]0;1[}$ :

${\displaystyle K\left(\mathrm {i} k\right)=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{1+{\sqrt {1+k^{2}}}}}K\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)}$

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique^[9] :

${\displaystyle {\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\Rightarrow K(k)={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1-k,1+k)}}={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}}$

Démonstration

Soit :

${\displaystyle K(a,b)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

D'après Gauss, on a :

${\displaystyle K(a,b)=K\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)}$

La transformation peut s'effectuer par changement de variable. Il est plus commode de convertir d’abord l’intégrale sous une forme algébrique en effectuant la changement de variable ${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {x}{b}}}$, ce qui donne :

${\displaystyle K\left(a,b\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {b}{x^{2}+b^{2}}}dx}{\sqrt {a^{2}{\frac {b^{2}}{x^{2}+b^{2}}}+b^{2}{\frac {x^{2}}{x^{2}+b^{2}}}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,\mathrm {d} x}$

Le changement de variable supplémentaire ${\displaystyle x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}}$ donne le résultat désiré :

${\displaystyle {\begin{aligned}K(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\frac {x\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{2}+ab}}}{x{\sqrt {x^{2}+a^{2}+b^{2}+{\frac {a^{2}b^{2}}{x^{2}}}{\frac {2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}{2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}}}}}}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\frac {x\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{2}+ab}}}{x{\sqrt {2t^{2}+ab+2t{\sqrt {t^{2}+ab}}+a^{2}+b^{2}+2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left[t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right]\left[t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right]}}}\,\mathrm {d} t\\&=K\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}}$

Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ et notée ${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)}$ ou ${\displaystyle M(a,b)}$. À la limite, l'intégrande devient une constante, donc l'intégration est triviale :

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}={\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {AGM} (a,b)={\frac {\pi a}{2K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)}}={\frac {\pi \left(a+b\right)}{4K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}}$

En opérant ${\displaystyle a\rightarrow 1}$ et ${\displaystyle b\rightarrow k}$, on a :

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}}$

2^e espèce

On a également un développement en série entière, ${\displaystyle \forall k^{2}\in ]-\infty ;1]}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}\end{aligned}}}$

Si ${\displaystyle k^{2}<0}$, en utilisant la transformation de Landen décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où ${\displaystyle k\in ]0;1[}$ :

${\displaystyle E\left(\mathrm {i} k\right)=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\left(1+{\sqrt {1+k^{2}}}\right)E\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)-{\sqrt {1+k^{2}}}K\left(k\right)}$

Avec des fonctions hypergéométriques

On a^{[B 2]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\quad ={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}\left(\;\;\;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\;;\;1\;;\;k^{2}\right)\\E(k)&=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)\quad ={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\;;\;1\;;\;k^{2}\right)\\\Pi (n,k)&=\Pi \left({\tfrac {\pi }{2}},n,k\right)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot \;\,F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\;;\;1,{\tfrac {1}{2}}\;;\;1\;;\;n,k^{2}\right)\end{aligned}}}$

où :

• ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b\;;\;c\;;\;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (c)\;\Gamma (a+n)\;\Gamma (b+n)}{\Gamma (a)\;\Gamma (b)\;\Gamma (c+n)}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$ est la fonction hypergéométrique gaussienne
• ${\displaystyle \;\,F_{1}(a\;;\;b_{1},b_{2}\;;\;c\;;\;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!\;n!}}}$ est la fonction hypergéométrique d'Appell (en)

Avec l'algorithme AGM (Moyenne Arithmético-Géométrique)

Avec l'algorithme AGM quadratique

A chaque étape de cet algorithme, ${\displaystyle a_{n+1}}$ et ${\displaystyle b_{n+1}}$ sont respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de ${\displaystyle a_{n}}$ et ${\displaystyle b_{n}}$ et ${\displaystyle a_{n}^{2}=b_{n}^{2}+c_{n}^{2}}$ comme indiqué ici. Puisque ${\displaystyle K(1)\rightarrow \infty }$, ${\displaystyle E(1)}$ ne peut pas être calculé ainsi, mais on sait que ${\displaystyle E(1)=1}$.

Algorithme AGM pour calculer les intégrales elliptiques

Valeurs initiales	Équations de récursion	Intégrales elliptiques
${\displaystyle a_{0}=1}$	${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}}$
${\displaystyle b_{0}={\sqrt {1-k^{2}}}}$	${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$	${\displaystyle E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)K(k)}$
${\displaystyle c_{0}=k}$	${\displaystyle c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}$	${\displaystyle \Pi (n,k)=\left[1+{\frac {n}{2(1-n)}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right]K(k)}$
${\displaystyle p_{0}={\sqrt {1-n}}}$	${\displaystyle p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}}$
${\displaystyle Q_{0}=1}$	${\displaystyle Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}}$

Avec l'algorithme AGM quartique

Par substitution de ${\displaystyle \alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}}$, on a l'algorithme AGM quartique dont la convergence est quartique.

Algorithme AGM quartique pour calculer les intégrales elliptiques

Valeurs initiales	Équations de récursion	Intégrales elliptiques
${\displaystyle \alpha _{0}=1}$	${\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}}$	${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}}$
${\displaystyle \beta _{0}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$	${\displaystyle \beta _{n+1}={\sqrt[{4}]{\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}}}$	${\displaystyle E(k)=\left\{1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left[\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right]\right\}K(k)}$

Démonstration

${\displaystyle \alpha _{n+1}={\sqrt {a_{2n+2}}}={\sqrt {\frac {a_{2n+1}+b_{2n+1}}{2}}}={\sqrt {\frac {{\frac {a_{2n}+b_{2n}}{2}}+{\sqrt {a_{2n}\,b_{2n}}}}{2}}}={\frac {{\sqrt {a_{2n}}}+{\sqrt {b_{2n}}}}{2}}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}={\sqrt {b_{2n+2}}}={\sqrt[{4}]{a_{2n+1}\,b_{2n+1}}}={\sqrt[{4}]{{\frac {a_{2n}+b_{2n}}{2}}{\sqrt {a_{2n}b_{2n}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {a_{2n}^{3/2}\;b_{2n}^{1/2}+a_{2n}^{1/2}\;b_{2n}^{3/2}}{2}}}={\sqrt[{4}]{\frac {\alpha _{n}^{3}\,\beta _{n}+\alpha _{n}\,\beta _{n}^{3}}{2}}}}$

Avec des formes symétriques de Carlson

En mathématiques , les formes symétriques de Carlson (de) des intégrales elliptiques sont un petit ensemble canonique d'intégrales elliptiques auquel toutes les autres peuvent être réduites. Elles constituent une alternative moderne aux formes de Legendre. Les formes de Legendre peuvent être exprimées en formes de Carlson et vice versa.

Les intégrales elliptiques de Carlson sont :

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}$

${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$

Intégrales elliptiques incomplètes

On a, pour ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 2\,\pi }$ et ${\displaystyle 0\leqslant {m\sin ^{2}}\varphi \leqslant 1}$ :

Intégrales elliptiques incomplètes

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{m}(\varphi ,m)&=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)\\E_{m}(\varphi ,m)&=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\frac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)\\\Pi (n,\varphi \,|\,m)&=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\frac {1}{3}}{n\;\sin ^{3}}\varphi \;\,R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )\end{aligned}}}$

Intégrales elliptiques complètes

Intégrales elliptiques complètes
${\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}(m)&=R_{F}\left(0,1-m,1\right)\\E_{m}(m)&=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)\\\Pi (n\,|\,m)&=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)\end{aligned}}}$

Avec des intégrales de Bulirsch

Intégrales elliptiques incomplètes

Une représentation alternative des intégrales elliptiques incomplètes sont les intégrales de Bulirsh (de)^{[10],[B 3]}.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {el1} (x,k_{c})\quad \;\;\;=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta \\&\operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta \\&\operatorname {el3} (x,k_{c},n_{c})\;\,=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta \end{aligned}}}$

Une version généralisée a été introduite en 1994 avec un algorithme de calcul efficace^[11] :

${\displaystyle \operatorname {el} (x,k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi \,|\,m)&=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})\qquad \qquad =\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},p,1,p)\qquad ,\quad |\varphi |\leqslant \pi /2,\quad p{\text{ quelconque}}\\E(\varphi \,|\,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,1-m),\quad |\varphi |\leqslant \pi /2\\\Pi (n,\varphi \,|\,m)&=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)\quad \;=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\ ,\quad |\varphi |\leqslant \pi /2\end{aligned}}}$

Les intégrales de Bulirsch ont l'avantage que certaines combinaisons des intégrales elliptiques de Legendre qui se produisent dans la pratique peuvent être représentées par une fonction commune, et ainsi les instabilités numériques et les plages de valeurs indéfinies peuvent être évitées^[11] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,F(\varphi \,|\,m)+\mu \,E(\varphi \,|\,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,F(\varphi \,|\,m)+\mu \,\Pi (n,\varphi \,|\,m)&=\operatorname {el} \;\;(\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(\varphi \,|\,m)-E(\varphi \,|\,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)F(\varphi \,|\,m)+E(\varphi \,|\,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,\varphi \,|\,m)-F(\varphi \,|\,m)}{n}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

Intégrales elliptiques complètes

Les intégrales complètes de Bulirsch sont :

${\displaystyle \operatorname {cel1} (k_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\,\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel2} (k_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\,\cos ^{2}\theta +b\,\sin ^{2}\theta }{\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\,\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cel3} (k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\,\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

et l'intégrale complète généralisée de Bulirsch^{[B 3]} :

${\displaystyle \operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta }$

On a^[12] :

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel1} ({\sqrt {1-m}})\qquad \qquad =\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},p,1,p)\qquad ,\quad p{\text{ quelconque}}\\E(m)&=\operatorname {cel2} ({\sqrt {1-m}},1,1-m)=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel3} ({\sqrt {1-m}},1-n)\quad \;=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}}$

Combinaisons linéaires d'intégrales complètes de Legendre :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cel} (k_{c},1,a,b)&={\frac {a-b}{1-k_{c}^{2}}}\,E(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,k_{c}^{2}}{1-k_{c}^{2}}}\,K(1-k_{c}^{2})\\\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)&={\frac {a-b}{1-n_{c}}}\,K(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,n_{c}}{1-n_{c}}}\,\Pi (1-n_{c},1-k_{c}^{2})\end{aligned}}}$

Fonctions elliptiques de Jacobi

Définitions

On appelle fonction amplitude de Jacobi la fonction réciproque de ${\displaystyle F}$, notée ${\displaystyle {\rm {am}}}$ :

${\displaystyle u=F\left(\varphi ,k\right)\Leftrightarrow \varphi ={\rm {am}}(u,k)}$

Les trois fonctions jacobiennes de base (1827) sont :

la fonction sinus de Jacobi	${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)=\sin[\operatorname {am} (u,k)]}$	${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)=\sin \varphi }$
la fonction cosinus de Jacobi	${\displaystyle \operatorname {cn} (u,k)=\cos[\operatorname {am} (u,k)]}$	${\displaystyle \operatorname {cn} (u,k)=\cos \varphi }$
la fonction delta de Jacobi	${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)={\sqrt {1-k^{2}{\operatorname {sn} }(u,k)^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions jacobiennes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {ns}}(u,k)&={\frac {1}{{\rm {sn}}(u,k)}},\quad {\rm {nc}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {cn}}(u,k)}},\quad {\rm {nd}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {dn}}(u,k)}},\\{\rm {sc}}(u,k)&={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}},\quad {\rm {cs}}(u,k)={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}},\\{\rm {sd}}(u,k)&={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}},\quad {\rm {ds}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}},\\{\rm {cd}}(u,k)&={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}},\quad {\rm {dc}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}}.\end{aligned}}}$

Jacobi a aussi introduit :

• la coamplitude : ${\displaystyle {\rm {coam}}(u,k)={\rm {am}}(K-u)(u,k)=\pi /2-{\rm {am}}(u,k)}$^{[C 2]}
• la fonction epsilon de Jacobi^{[B 4]} : ${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,k)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,k)\,\mathrm {d} t}$
• la fonction zn de Jacobi : ${\displaystyle \operatorname {zn} (u,k)=\int _{0}^{u}\left[\operatorname {dn} (t,k)^{2}-{\frac {E(k)}{K(k)}}\right]\,\mathrm {d} t}$
• la fonction zeta de Jacobi : ${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k)}$

On a aussi^{[C 3]} :

• le gudermannien : ${\displaystyle {\rm {gd}}(u)={\rm {am}}(u,1)=2\arctan \mathrm {e} ^{u}-\pi /2}$
• la fonction correspondant à ${\displaystyle {\rm {sn}}}$ : ${\displaystyle {\rm {sg}}(u)=\sin({\rm {gd}}(u))}$
• la fonction correspondant à ${\displaystyle {\rm {cn}}}$ : ${\displaystyle {\rm {cg}}(u)=\cos({\rm {gd}}(u))}$.

Lien avec les intégrales elliptiques

L'intégrale elliptique de 1^re espèce permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi :

• la fonction am est définie comme réciproque de ${\displaystyle F(\varphi ,k)}$ :

${\displaystyle F(\varphi ,k)=u\Leftrightarrow \varphi =\mathrm {am} (u,k)}$

• la fonction sn est définie comme réciproque de ${\displaystyle F(x;k)}$ :

${\displaystyle F(x;k)=u\Leftrightarrow x=\mathrm {sn} (u,k)=\sin \mathrm {am} (u,k)}$

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans le cas des intégrales elliptiques de deuxième et troisième espèce :

${\displaystyle E(\mathrm {am} (u,k),k)=\int _{0}^{u}\mathrm {dn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {sn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {cn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w}$

${\displaystyle \Pi (n,\mathrm {am} (u,k),k)=\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} w}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w,k)}}}$

Valeurs, identités et relations

Valeurs intégrales elliptiques singulières

Les valeurs intégrales elliptiques singulières sont ces intégrales elliptiques complètes^[13] qui peuvent être représentées comme une combinaison algébrique des valeurs de la fonction gamma de nombres rationnels. Une telle représentation est possible si le module est égal à une valeur d'étoile lambda elliptique d'un nombre rationnel positif.

Identités de la fonction bêta des intégrales K et E

Module k	Intégrales elliptiques de 1^re espèce	Intégrales elliptiques de 2^e espèce
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle K(0)={\tfrac {\pi }{2}}=K'(1)}$	${\displaystyle E(0)={\tfrac {\pi }{2}}=E'(1)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \lim _{k\to 1}K(k)=+\,\infty }$	${\displaystyle E(1)=1}$
${\displaystyle \lambda ^{*}(1)={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle K\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\,\varpi ={\tfrac {1}{4}}\beta \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$	${\displaystyle E\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\left(\varpi +\pi \,\varpi ^{-1}\right)={\tfrac {1}{8}}\beta \left({\tfrac {1}{4}}\right)+\pi \beta \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle K\left({\sqrt {2}}-1\right)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\left({\sqrt {2}}+1\right)\beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)}$	${\displaystyle E\left({\sqrt {2}}-1\right)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt[{4}]{8}}\left({\sqrt {2}}+1\right)\beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)+{\sqrt[{4}]{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\pi \beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}}$	${\displaystyle K\left({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,\right)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{8}}\left({\sqrt {2}}+1\right)\beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)}$	${\displaystyle E\left({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\,\right)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,\beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)+{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\pi \beta \left({\tfrac {3}{8}}\right)^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}\left(3\right)=\sin \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)}$	${\displaystyle K\left[\sin \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)\right]={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)}$	${\displaystyle E\left[\sin \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)\right]={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{27}}\,\pi \beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{-1}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}\left({\tfrac {1}{3}}\right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)}$	${\displaystyle K\left[\cos \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)\right]={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)}$	${\displaystyle E\left[\cos \left({\tfrac {\pi }{12}}\right)\right]={\tfrac {1}{24}}{\sqrt[{3}]{4}}\,{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)\beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{3}}\,\pi \beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{-1}}$

où :

• ${\displaystyle \varpi =\pi \,G=2{,}622\;057\;554\;292\;119\cdots }$ est la constante de la lemniscate (suite A062539 de l'OEIS)
• ${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}={\frac {1}{M\left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0{,}834\;626\;841\;674\;073\cdots }$ est la constante de Gauss (suite A014549 de l'OEIS)
• ${\displaystyle \beta (x)=\mathrm {B} (x,x)={\frac {\Gamma ^{2}(x)}{\Gamma (2x)}}}$ est la fonction bêta réduite
• ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t}$ est la fonction bêta
• ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }t^{x-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$ est la fonction gamma
• ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (\mathrm {i} {\sqrt {x}})}}}$
• ${\displaystyle \lambda (x)={\frac {\vartheta _{10}^{4}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi x}\right)}{\vartheta _{00}^{4}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi x}\right)}}={\frac {\left[\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi \,x\,\left(n+1/2\right)^{2}}\right]^{4}}{\left[\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi \,x\,n^{2}}\right]^{4}}}}$ est la fonction lambda elliptique (de)

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ répond au critère suivant : ${\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K\left[\lambda ^{*}(x)\right]}}={\sqrt {x}}}$

On a aussi :

${\displaystyle q\left[\lambda ^{*}(p)\right]=\exp(-\pi {\sqrt {p}})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(p)=q^{\langle {-1}\rangle }\exp(-\pi {\sqrt {p}})={\frac {\vartheta _{10}^{2}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]}{\vartheta _{00}^{2}[\exp(-\pi {\sqrt {p}})]}}}$

où ${\displaystyle q^{\langle {-1}\rangle }}$ est la réciproque de ${\displaystyle q(k)}$, soit ${\displaystyle k(q)}$.

On a enfin :

${\displaystyle K\left[\lambda ^{*}(5)\right]=K\left\{\sin \left[{\tfrac {1}{2}}\arcsin \left({\sqrt {5}}-2\right)\right]\right\}=2^{-37/20}5^{-5/8}\left({\sqrt {5}}+1\right)^{5/4}\cos \left({\tfrac {\pi }{20}}\right)\beta \left({\tfrac {9}{20}}\right)}$

${\displaystyle K\left[\lambda ^{*}(6)\right]=K\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)\right]=2^{-37/12}3^{-3/4}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)\beta \left({\tfrac {11}{24}}\right)}$

${\displaystyle K\left[\lambda ^{*}(7)\right]=K\left[{\tfrac {1}{8}}\left(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}\right)\right]=2^{-11/7}7^{-5/4}\cot \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\,\pi ^{-1}\beta \left({\tfrac {2}{7}}\right)\beta \left({\tfrac {4}{7}}\right)\beta \left({\tfrac {5}{14}}\right)}$

${\displaystyle K\left[\lambda ^{*}(15)\right]=K\left[{\tfrac {1}{16}}\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\left(2-{\sqrt {3}}\right)\right]=2^{-4}3^{-5/4}5^{-5/4}\left({\sqrt {5}}+1\right)^{2}\,\pi ^{-1}\beta \left({\tfrac {2}{15}}\right)\beta \left({\tfrac {8}{15}}\right)\beta \left({\tfrac {1}{3}}\right)}$

Les valeurs d'étoile lambda elliptique mentionnées peuvent également être obtenues en résolvant ces formules, qui sont valables pour tout n ∈ ℕ :

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left\{{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right],\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n)={\sqrt {1-\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}}}}$

Identités particulières

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} }$^{[14],[B 5]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\frac {p\,\pi }{2}}\,|\,m\right)&=p\,K_{m}(m)\\F(\varphi +p\,\pi ,k)&=F(\varphi ,k)+2\,p\,K(k)\\F(-\varphi ,k)&=-F(\varphi ,k)\\F(\varphi ,0)&=\varphi \\F(\varphi ,1)&={\operatorname {argth} }\sin \varphi \\&{\text{si }}-{\frac {\pi }{2}}<\Re (\varphi )<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}E\left({\frac {p\,\pi }{2}}\,|\,m\right)&=p\,E_{m}(m)\\E(\varphi +p\,\pi ,k)&=E(\varphi ,k)+2\,p\,E(k)\\E(-\varphi ,k)&=-E(\varphi ,k)\\E(\varphi ,0)&=\varphi \\E(\varphi ,1)&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi \left(m,{\frac {p\,\pi }{2}}\,|\,m\right)&={\frac {p\,E_{m}(m)}{m-1}}\\\Pi (0,\varphi ,k)&=F(\varphi ,k)\\\Pi \left(1,\varphi ,k\right)&={\frac {{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\tan \varphi -E(\varphi ,k)}{1-k^{2}}}+F(\varphi ,k)\\\Pi (n,\varphi ,0)&={\frac {{\operatorname {argth} }({\sqrt {n-1}}\tan \varphi )}{\sqrt {n-1}}}\\&{\text{si }}-{\frac {\pi }{2}}\leqslant \Re (\varphi )\leqslant {\frac {\pi }{2}}\\\Pi (n,\varphi ,1)&={\frac {1}{2n-2}}\left[{\sqrt {n}}\ln {\frac {1+{\sqrt {n}}\sin \varphi }{1-{\sqrt {n}}\sin \varphi }}-2\ln {\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]\\&{\text{ si }}-{\frac {\pi }{2}}\leqslant \Re (\varphi )\leqslant {\frac {\pi }{2}}\\\Pi (n,\varphi ,{\sqrt {n}})&={\frac {1}{1-n}}\left[E(\varphi ,{\sqrt {n}})-{\frac {n\sin(2\varphi )}{2{\sqrt {1-n\sin ^{2}\varphi }}}}\right]\\\Pi \left(n,{\frac {1}{k}},k\right)&={\frac {1}{k}}\Pi \left({\frac {n}{k^{2}}},{\frac {1}{k}}\right)\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}(0)&={\frac {\pi }{2}}\\K_{m}(1)&=\infty \\K_{m}(\pm \infty )&=0\\K_{m}(\pm {\mathrm {i} }\infty )&=0\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}E_{m}(0)&={\frac {\pi }{2}}\\E_{m}(1)&=1\\E_{m}(\infty )&={\mathrm {i} }\infty \\E_{m}(-\infty )&=\infty \\E_{m}(-{\mathrm {i} }\infty )&=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\infty \\E_{m}({\mathrm {i} }\infty )&=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-\mathrm {i} {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\infty \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi (0\,|\,0)&={\frac {\pi }{2}}\\\Pi (0\,|\,1)&=\infty \\\Pi (0\,|\,m)&=K_{m}(m)\\\Pi (1\,|\,m)&=\infty \\\Pi (n\,|\,0)&={\frac {\pi }{2{\sqrt {1-n}}}}\\\Pi (n\,|\,1)&=-{\frac {\infty }{\operatorname {sgn} {n-1}}}\\\Pi (m\,|\,m)&={\frac {E_{m}(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&={\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\frac {1}{2}}K(k)\\\Pi (n\,|\,\pm \infty )&=0\\\Pi (\pm \infty \,|\,m)&=0\end{aligned}}}$

Relations

Intégrales de P₃(x)^-1/2 et P₄(x)^-1/2

Ces deux formules servent à intégrer l'inverse des racines carrées des polynômes cubiques et quartiques :

${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {(a\,x+b)(c\,x^{2}+d\,x+e)}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}c\,e+b^{2}\,c^{2}-a\,b\,c\,d}}}\,F\left[2\arctan {\frac {\sqrt {a\,c\,x+b\,c}}{\sqrt[{4}]{a^{2}c\,e+b^{2}\,c^{2}-a\,b\,c\,d}}},\sin \left({\frac {1}{2}}\arccos {\frac {a\,d-2\,b\,c}{2{\sqrt {a^{2}\,c\,e+b^{2}\,c^{2}-a\,b\,c\,d}}}}\right)\right]}$

${\displaystyle \int {\frac {\sqrt {{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-v\,w+1}}{\sqrt {2(x^{2}+2\,v\,x+1)(x^{2}+2\,w\,x+1)}}}\mathrm {d} x=F\left[\arcsin {\frac {{\sqrt {1-w^{2}}}(x+v)+{\sqrt {1-v^{2}}}(x+w)}{{\sqrt {1-w^{2}}}{\sqrt {x^{2}+2\,v\,x+1}}+{\sqrt {1-v^{2}}}{\sqrt {x^{2}+2\,w\,x+1}}}},k\right]}$ avec : ${\displaystyle k={\frac {v-w}{{\sqrt {(1-v^{2})(1-w^{2})}}-v\,w+1}}=\operatorname {th} {\frac {\operatorname {argth} v-\operatorname {argth} w}{2}}={\frac {\sin {\frac {\arcsin v-\arcsin w}{2}}}{\cos {\frac {\arcsin v+\arcsin w}{2}}}}}$

Le polynôme quartique sous le radical peut être factorisé en deux polynômes quadratiques. L'intégrale impropre de moins l'infini à plus l'infini de l'inverse de la racine carrée d'un polynôme quartique sans zéros réels peut toujours être représentée comme une intégrale elliptique complète de 1^re espèce à partir d'un module algébriquement lié aux coefficients du polynôme quartique.

Par exemple :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+x^{3}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{\sqrt {\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arcsin {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{16}}\right)}}}\,K\left({\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {3}}\tan \left({\tfrac {1}{3}}\arcsin {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{16}}\right)\right]}}\,\right)\approx 3{,}902\,125\,575\,654\,17}$

Intégrales de (1 - xⁿ)^-1/2

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{3}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F\left(2\arctan {\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left(\arcsin {\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{6}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F\left(2\arctan {\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {1-x^{2}}}},{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{8}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}F\left(\arctan {\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}},{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\right)+{\frac {1}{2}}F\left(\arcsin {\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\sqrt {2}}-1\right)}$

Relation avec la fonction bêta

On a, pour n ∈ ℕ :

${\displaystyle {\frac {2^{2/n}}{2\,n}}\beta \left({\frac {1}{n}}\right)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{n}}}}\mathrm {d} x}$

Cette formule est expliquée dans une version ancienne de l'article fonction gamma de Wikipedia en allemand.

Par exemple, pour n = 3, 4, 6 et 8, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt[{3}]{4}}{6}}\beta \left({\frac {1}{3}}\right)&={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F\left(2\arctan {\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}},{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {2}{3{\sqrt[{4}]{3}}}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {2}{\sqrt[{4}]{27}}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\\{\frac {\sqrt {2}}{8}}\beta \left({\frac {1}{4}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2}}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{12}}\beta \left({\frac {1}{6}}\right)&={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)\\{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{16}}\beta \left({\frac {1}{8}}\right)&={\frac {1}{2}}K\left({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}K\left({\sqrt {2}}-1\right)\end{aligned}}}$

En calculant ces intégrales et en appliquant la formule d'Euler du théorème supplémentaire, les valeurs de la fonction gamma peuvent être déterminées. Les 1^re[15] et 3^e[16] égalités représentent des exemples de calcul équi-anharmonique. La dérivation de ces intégrales a été traitée notamment par le mathématicien Mark B. Villarino de l'Université du Costa Rica dans son ouvrage Le Module Singulier de Legendre. La deuxième égalité^[17],[18] représente un exemple de calcul lemniscatique (l'arc sinus lemniscatique (de)). Pour ces quatre égalités, le module^[19] est une valeur elliptique des étoiles lambda provenant de nombres rationnels.

Dérivées, équations différentielles et primitives

Dérivées des intégrales incomplètes et complètes

Dérivée des intégrales incomplètes

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F(\varphi ,k)={\frac {E(\varphi ,k)-(1-k^{2})F(\varphi ,k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}F(\varphi \,|\,m)={\frac {E(\varphi \,|\,m)-(1-m)F(\varphi \,|\,m)}{2m(1-m)}}-{\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{2(1-m){\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(\varphi ,k)={\frac {E(\varphi ,k)-F(\varphi ,k)}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E(\varphi \,|\,m)={\frac {E(\varphi \,|\,m)-F(\varphi \,|\,m)}{2m}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\Pi (n,\varphi ,k)={\frac {-kE(\varphi ,k)+k(1-k^{2})\Pi (n,\varphi ,k)+{\frac {k^{3}\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\Pi (n,\varphi \,|\,m)={\frac {-E(\varphi \,|\,m)+(1-m)\Pi (n,\varphi \,|\,m)+{\frac {m\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}{2(n-m)(1-m)}}}$

Dérivée des intégrales complètes

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}K_{m}(m)={\frac {E_{m}(m)-(1-m)K_{m}(m)}{2m(1-m)}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E_{m}(m)={\frac {E_{m}(m)-K_{m}(m)}{2m}}}$
${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}k}}\Pi (n,k)={\frac {-kE(k)+k(1-k^{2})\Pi (n,k)}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} n}}\Pi (n,k)={\frac {nE(k)+\left(k^{2}-n\right)K(k)+\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)}{2n(k^{2}-n)(n-1)}}}$	${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}m}}\Pi (n\,|\,m)={\frac {-E_{m}(m)+(1-m)\Pi (n\,|\,m)}{2(n-m)(1-m)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} n}}\Pi (n\,|\,m)={\frac {nE_{m}(m)+\left(m-n\right)K_{m}(m)+\left(n^{2}-m\right)\Pi (n\,|\,m)}{2n(m-n)(n-1)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}={\frac {g'(x)}{g(x)[1-g^{2}(x)]}}{\bigl \{}E{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}-[1-g^{2}(x)]F{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}{\bigr \}}+{\frac {2f'(x)[1-g(x)^{2}]-g(x)g'(x)\sin[2f(x)]}{2[1-g^{2}(x)]{\sqrt {1-g^{2}(x)\sin ^{2}f(x)}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}E{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}={\frac {g'(x)}{g(x)}}{\bigl \{}E{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}-F{\bigl [}f(x),g(x){\bigr ]}{\bigr \}}+f'(x){\sqrt {1-g^{2}(x)\sin ^{2}f(x)}}}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F(\varphi ,k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {k\,x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {k^{2}(1-k^{2})x^{2}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\right)^{2}-\left(1-k^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)-k^{2}\left(1-2x^{2}+k^{2}x^{4}\right)}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(\varphi ,k)-{\frac {1}{k}}F(\varphi ,k)-\left[{\frac {k\,x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right]_{x=0}^{x=\sin \varphi }={\frac {E(\varphi ,k)-(1-k^{2})F(\varphi ,k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(\varphi ,k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {-k\,x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {1-x^{2}}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(\varphi ,k)-F(\varphi ,k)}{k}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\Pi (n,\varphi ,k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {k\,x^{2}}{(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {(n-k^{2})(1-k^{2})k\,x^{2}}{(n-k^{2})(1-k^{2})(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {(-k+k-k^{3}+k^{3})+(2k^{3}+nk-k^{3}+k^{5}-nk^{3}-2k^{3})x^{2}+(-k^{5}-2nk^{3}+2nk^{3}+k^{5})x^{4}+(nk^{5}-nk^{5})x^{6}}{(n-k^{2})(1-k^{2})(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {-k(1-k^{2}x^{2})^{2}(1-n\,x^{2})+k(1-k^{2})(1-k^{2}x^{2})+k^{3}(1-n\,x^{2})(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(n-k^{2})(1-k^{2})(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\sin \varphi }{\tfrac {-k{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{(n-k^{2})(1-k^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{\sin \varphi }{\tfrac {k}{(n-k^{2})(1-n\,x^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{\sin \varphi }{\tfrac {k^{3}(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(n-k^{2})(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&={\frac {-k}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}E(\varphi ,k)+{\frac {k}{n-k^{2}}}\Pi (n,\varphi ,k)+{\frac {k^{3}}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}\left[{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}\right]_{x=0}^{x=\sin \varphi }\\&={\frac {-kE(\varphi ,k)+k(1-k^{2})\Pi (n,\varphi ,k)+k^{3}{\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}\end{aligned}}}$

On a aussi :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} k}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}=2k{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}.}$

Concernant les équations différentielles d'ordre 2, on pose :

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=F(\varphi ,k)\\E&=E(\varphi ,k)\\\Delta &={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\end{aligned}}}$

On rappelle :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F={\frac {E-k'^{2}F}{kk'^{2}}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta }}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E={\frac {E-F}{k}}}$

On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}F&={\frac {\left[{\frac {E-F}{k}}+2kF-k'^{2}\left({\frac {E-k'^{2}F}{kk'^{2}}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta }}\right)\right]kk'^{2}-\left(E-k'^{2}F\right)\left(1-3k^{2}\right)}{k^{2}k'^{4}}}-{\frac {\cos \varphi \sin \varphi \left[k'^{2}\Delta ^{2}+2k^{2}\Delta ^{2}+2k^{2}k'^{2}\sin ^{2}\varphi \right]}{k'^{4}\Delta ^{3}}}\\&={\frac {\left[-k'^{2}+2k^{2}k'^{2}+k'^{4}+k'^{2}(1-3k^{2})\right]F+\left[k'^{2}-k'^{2}-(1-3k^{2})\right]E}{k^{2}k'^{4}}}+{\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta }}-{\frac {\cos \varphi \sin \varphi \left[(1+k^{2})\Delta ^{2}+2k^{2}k'^{2}\sin ^{2}\varphi \right]}{k'^{4}\Delta ^{3}}}\\&={\frac {1-2k^{2}}{k^{2}k'^{2}}}F-{\frac {1-3k^{2}}{k^{2}k'^{4}}}E-{\frac {2k^{2}\left[1+(1-2k^{2})\sin ^{2}\varphi \right]\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{4}\Delta ^{3}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow kk'^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}F+(1-3k^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F-kF}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &={\frac {1-2k^{2}}{k}}F-{\frac {1-3k^{2}}{kk'^{2}}}E-{\frac {2k^{3}\left[1+(1-2k^{2})\sin ^{2}\varphi \right]\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta ^{3}}}+{\frac {1-3k^{2}}{kk'^{2}}}E-{\frac {1-3k^{2}}{k}}F-{\frac {k(1-3k^{2})\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta }}-kF\\\quad &={\frac {\cos \varphi \sin \varphi \left[-kk'^{2}-k^{3}k'^{2}\sin ^{2}\varphi \right]}{k'^{2}\Delta ^{3}}}=-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{\Delta }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}E={\frac {k\left[{\frac {E-F}{k}}\right]-k\left[{\frac {E-k'^{2}F}{kk'^{2}}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{k'^{2}\Delta }}\right]-E+F}{k^{2}}}=-{\frac {1}{k^{2}k'^{2}}}E+{\frac {1}{k^{2}}}F+{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{kk'^{2}\Delta }}}$

${\displaystyle \Rightarrow kk'^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}E+k'^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E+kE=-{\frac {1}{k}}E+{\frac {k'^{2}}{k}}F+{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{\Delta }}+k'^{2}{\frac {E-F}{k}}+kE={\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{\Delta }}}$

Équations différentielles

Équations différentielles du 1^er ordre

Équations différentielles du 1^er ordre des intégrales incomplètes

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F(\varphi ,k)+{\frac {1}{k}}F(\varphi ,k)={\frac {E(\varphi ,k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}F(\varphi \,|\,m)+{\frac {1}{2m}}F(\varphi |m)={\frac {E(\varphi \,|\,m)}{2m(1-m)}}-{\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{2(1-m){\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(\varphi ,k)-{\frac {1}{k}}E(\varphi ,k)=-{\frac {F(\varphi ,k)}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E(\varphi \,|\,m)={\frac {E(\varphi \,|\,m)-F(\varphi |m)}{2m}}}$
${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}k}}\Pi (n,\varphi ,k)-{\frac {k}{n-k^{2}}}\Pi (n,\varphi ,k)={\frac {-kE(\varphi ,k)+{\frac {k^{3}\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}m}}\Pi (n,\varphi \,|\,m)-{\frac {1}{2(n-m)}}\Pi (n,\varphi \,|\,m)={\frac {-E(\varphi \,|\,m)+{\frac {m\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}{2(n-m)(1-m)}}}$

Équations différentielles du 1^er ordre des intégrales complètes

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)+{\frac {1}{k}}K(k)={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}K_{m}(m)+{\frac {1}{2m}}K_{m}(m)={\frac {E_{m}(m)}{2m(1-m)}}}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)-{\frac {1}{k}}E(k)=-{\frac {K(k)}{k}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E_{m}(m)-{\frac {1}{2m}}E_{m}(m)=-{\frac {K_{m}(m)}{2m}}}$
${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}k}}\Pi (n,k)-{\frac {k}{n-k^{2}}}\Pi (n,k)={\frac {-kE(k)}{(n-k^{2})(1-k^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}m}}\Pi (n\,|\,m)-{\frac {1}{2(n-m)}}\Pi (n\,|\,m)={\frac {-E_{m}(m)}{2(n-m)(1-m)}}}$

Équations différentielles du 2^e ordre

Équations différentielles du 2^e ordre des intégrales incomplètes

${\displaystyle \scriptstyle k\left(1-k^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}F(\varphi ,k)+(1-3k^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}F(\varphi ,k)-kF(\varphi ,k)=-{\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}}$	${\displaystyle \scriptstyle 4m\left(1-m\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} m^{2}}}F(\varphi \,|\,m)+2(1-3m){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}F(\varphi \,|\,m)-F(\varphi \,|\,m)=-{\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{(1-m\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}}$
${\displaystyle \scriptstyle k\left(1-k^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}E(\varphi ,k)+(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(\varphi ,k)+kE(\varphi ,k)={\frac {k\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$	${\displaystyle \scriptstyle 4m\left(1-m\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} m^{2}}}E(\varphi \,|\,m)+2(1-m){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E(\varphi \,|\,m)+E(\varphi \,|\,m)={\frac {\cos \varphi \sin \varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}}$

Équations différentielles du 2^e ordre des intégrales complètes

${\displaystyle k\left(1-k^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}K(k)+(1-3k^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)-kK(k)=0}$	${\displaystyle 4m\left(1-m\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} m^{2}}}K_{m}(m)+2(1-3m){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}K_{m}(m)-K_{m}(m)=0}$
${\displaystyle k\left(1-k^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} k^{2}}}E(k)+(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)+kE(k)=0}$	${\displaystyle 4m\left(1-m\right){\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} m^{2}}}E_{m}(m)+2(1-m){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}E_{m}(m)+E_{m}(m)=0}$

Primitives des intégrales complètes

Primitives de E, K et ${\displaystyle \Pi }$ par rapport à ${\displaystyle k}$ ou ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z}$	${\displaystyle \int _{0}^{m}K_{m}(m)\,\mathrm {d} m=2(m-1)K_{m}(m)+2E_{m}(m)}$
${\displaystyle \int _{0}^{x}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}\left[{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right]\,\mathrm {d} z}$	${\displaystyle \int _{0}^{m}E_{m}(m)\,\mathrm {d} m={\tfrac {2}{3}}(m-1)K_{m}(m)+{\tfrac {2}{3}}(m+1)E_{m}(m)}$
${\displaystyle \int _{0}^{x}\Pi (n,k)\,\mathrm {d} k}$	${\displaystyle \int _{0}^{m}\Pi (n\,|\,m)\,\mathrm {d} m=-2K_{m}(m)+2E_{m}(m)+2(m-n)\Pi (n\,|\,m)+{\frac {n\,\pi }{\sqrt {1-n}}}}$

Par exemple :

${\displaystyle \int _{0}^{1}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin z}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z={\biggl [}2\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin z}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z={\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}}$

où :

• ${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0{,}915\;965\;594\;177\;219}$ est la constante de Catalan (suite A006752 de l'OEIS)
• ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)}$ est l'arc tangente intégral : ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,\mathrm {d} t}$

Puisque ${\displaystyle \mathrm {d} m=2k\,\mathrm {d} k}$, on a ces formules alternatives :

${\displaystyle \int _{0}^{x}k\,K(k)\,\mathrm {d} k=E(x)-(1-x^{2})K(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}k\,E(k)\,\mathrm {d} k={\frac {1}{3}}{\bigl [}(1+x^{2})E(x)-(1-x^{2})K(x){\bigr ]}}$

On a aussi :

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {K(k)-{\frac {\pi }{2}}}{k^{2}}}\mathrm {d} k={\frac {\pi -2E(x)}{2x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {{\frac {\pi }{2}}-E(k)}{k^{2}}}\mathrm {d} k={\frac {4E(x)-2(1-x^{2})K(x)-\pi }{2x}}}$

On a :

${\displaystyle \int _{0}^{x}K(k^{2})\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {2\operatorname {arcsl} (xz)}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}K(k^{2})\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {2\operatorname {arcsl} (z)}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z=\left[\operatorname {arcsl} (z)^{2}\right]_{0}^{1}={\frac {\varpi ^{2}}{4}}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{x}E(k^{2})\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}\left[{\frac {4\operatorname {arcsl} (xz)+2xz{\sqrt {1-x^{4}z^{4}}}}{3{\sqrt {1-z^{4}}}}}\right]\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}E(k^{2})\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}\left[{\frac {4\operatorname {arcsl} (z)}{3{\sqrt {1-z^{4}}}}}+{\frac {2}{3}}z\right]\mathrm {d} z=\left[{\frac {2}{3}}\operatorname {arcsl} (z)^{2}+{\frac {1}{3}}z^{2}\right]_{0}^{1}={\frac {\varpi ^{2}}{6}}+{\frac {1}{3}}}$

où :

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)}$ est l'arc sinus lemniscatique (de) : ${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

Démonstration

• En fonction de ${\displaystyle k}$ :

Dérivons les membres de droite :

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {1}{z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}=K(x)}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}={\frac {1}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}+{\frac {1-2x^{2}z^{2}}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}=E(x)}$

De plus :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}&={\frac {\arctan {\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{\frac {\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right){\sqrt {1-z^{2}}}+z^{2}}{\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{2}{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arctan {\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\\&={\frac {\arcsin \left(2{\frac {\dfrac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\dfrac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)^{2}}}}\right)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arcsin {\frac {2z\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}{\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{2}+z^{2}}}}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arcsin z}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\end{aligned}}}$

• En fonction de ${\displaystyle m}$ :

Dérivons les membres de droite :

• ${\displaystyle 2K_{m}(m)+2(m-1){\frac {E_{m}(m)-(1-m)K_{m}(m)}{2m(1-m)}}+2{\frac {E_{m}(m)-K_{m}(m)}{2m}}=K_{m}(m)}$
• ${\displaystyle {\frac {2}{3}}K_{m}(m)+{\tfrac {2}{3}}(m-1){\frac {E_{m}(m)-(1-m)K_{m}(m)}{2m(1-m)}}+{\frac {2}{3}}E_{m}(m)+{\frac {2}{3}}(m+1){\frac {E_{m}(m)-K_{m}(m)}{2m}}=E_{m}(m)}$
• ${\displaystyle -2{\frac {E_{m}(m)-(1-m)K_{m}(m)}{2m(1-m)}}+2{\frac {E_{m}(m)-K_{m}(m)}{2m}}+2\Pi _{m}(n,m)+2(m-n){\frac {1}{2(n-m)}}\left({\frac {E_{m}(m)}{m-1}}+\Pi _{m}(n,m)\right)=\Pi _{m}(n,m)}$

Il faut ensuite que ${\displaystyle \int _{0}^{0}K_{m}(m)\mathrm {d} m=\int _{0}^{0}E_{m}(m)\mathrm {d} m=\int _{0}^{0}\Pi (n\,|\,m)\mathrm {d} m=0}$, ce qui est le cas pour ${\displaystyle K_{m}(m)}$ et ${\displaystyle E_{m}(m)}$. Pour ${\displaystyle \Pi (n\,|\,m)}$, on a :

${\displaystyle \Pi (n\,|\,0)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{1-n\sin ^{2}\theta }}=\left[{\frac {\arctan \left({\sqrt {1-n}}\tan \theta \right)}{\sqrt {1-n}}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {1-n}}}}.}$

Théorèmes d'addition

Soit :

${\displaystyle \varphi _{t}=\arctan \left(\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{1}\Delta _{2}\right)}$

On a alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi _{t}&={\frac {\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\\cos \varphi _{t}&={\frac {\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\\tan \varphi _{t}&={\frac {\tan \varphi _{2}\Delta _{1}+\tan \varphi _{1}\Delta _{2}}{1-\tan \varphi _{1}\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}}\\\tan {\tfrac {\varphi _{t}}{2}}&={\frac {\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi _{t}&=\sin \arctan \left(\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\right)\cdot \cos \arctan \left(\tan \varphi _{1}\Delta _{2}\right)+\cos \arctan \left(\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\right)\cdot \sin \arctan \left(\tan \varphi _{1}\Delta _{2}\right)\\&={\frac {\tan \varphi _{2}\Delta _{1}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}}{\frac {\tan \varphi _{1}\Delta _{2}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}\\&={\frac {\tan \varphi _{2}\Delta _{1}+\tan \varphi _{1}\Delta _{2}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}}\\&={\frac {\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{{\sqrt {\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}{\sqrt {\cos ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}}\\&={\frac {\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi _{t}&=\cos \arctan \left(\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\right)\cdot \cos \arctan \left(\tan \varphi _{1}\Delta _{2}\right)-\sin \arctan \left(\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\right)\cdot \sin \arctan \left(\tan \varphi _{1}\Delta _{2}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}-{\frac {\tan \varphi _{2}\Delta _{1}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}}{\frac {\tan \varphi _{1}\Delta _{2}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}\\&={\frac {1-\tan \varphi _{1}\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\Delta _{1}^{2}}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\Delta _{2}^{2}}}}}\\&={\frac {\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \varphi _{t}&={\frac {\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}}\\&={\frac {\tan \varphi _{2}\Delta _{1}+\tan \varphi _{1}\Delta _{2}}{1-\tan \varphi _{1}\tan \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\tfrac {\varphi _{t}}{2}}&={\frac {1-\cos \varphi _{t}}{1+\cos \varphi _{t}}}={\frac {1-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}{1+\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}}}\\&=\left({\frac {\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}}}\right)^{2}{\tfrac {\left(1-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}\right)\left(\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}\right)^{2}}{\left[{\begin{matrix}\left(1+\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\right)\left[\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+2\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}\right]\\-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+2\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}\right]\\-2\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left[\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right]\Delta _{1}\Delta _{2}\end{matrix}}\right]}}\\&=\left({\frac {\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}}}\right)^{2}{\tfrac {\left(1-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}\right)\left(\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}\right)^{2}}{\left[{\begin{matrix}\left[2+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\cos ^{2}\varphi _{1}-\cos ^{2}\varphi _{2}-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}\right)-2+2\cos ^{2}\varphi _{1}+2\cos ^{2}\varphi _{2}-2\cos ^{2}\varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\right]\\-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[2+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}-2\sin ^{2}\varphi _{1}-2\sin ^{2}\varphi _{2}\right]\\+k^{4}\left[2\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}-2\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\right]\\+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left[2+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{1}-\sin ^{2}\varphi _{2}-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right]\Delta _{1}\Delta _{2}\end{matrix}}\right]}}\\&=\left({\frac {\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}}}\right)^{2}\\\tan {\tfrac {\varphi _{t}}{2}}&={\frac {\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\sin \varphi _{1}\Delta _{2}}{\cos \varphi _{1}+\cos \varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

1^re espèce

${\displaystyle \forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\varphi _{t},k\right)}$

2^e espèce

${\displaystyle \forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)=E\left(\varphi _{t},k\right)+k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\sin \varphi _{t}}$

3^e espèce

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,\Pi (n,\varphi _{1},k)+\Pi (n,\varphi _{2},k)&=\Pi \left(n,\varphi _{t},k\right)-nR_{c}\left(\gamma -\delta ,\gamma \right)\quad {\text{avec : }}{\begin{cases}\gamma &={\frac {\left(1-n\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\left(1-n\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\left(1-n\sin ^{2}\varphi _{t}\right)}{\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\sin \varphi _{t}}}\\\delta &=n(1-n)(n-k^{2})\end{cases}}\end{aligned}}}$

Il faut donc faire attention aux fonctions à valeurs multiples^{[pourquoi ?][B 6]}. Si ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]}$ et ${\displaystyle 0\leqslant k^{2}\leqslant n<\operatorname {min} \left(1;{\frac {1}{1-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\cos \varphi _{t}}}\right)}$, on peut utiliser :

${\displaystyle \Pi (n,\varphi _{1},k)+\Pi (n,\varphi _{2},k)=\Pi \left(n,\varphi _{t},k\right)+{\frac {n}{\sqrt {\delta }}}\arctan {\frac {{\sqrt {\delta }}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\sin \varphi _{t}}{n-1-n\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\cos \varphi _{t}}}}$

Démonstration

Une démonstration s'appuie sur le théorème suivant :

${\displaystyle f(\varphi _{2})=g(\varphi _{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}f(0)=g(0)\\{\text{et }}\partial _{\varphi _{2}}f(\varphi _{2})=\partial _{\varphi _{2}}g(\varphi _{2})\end{cases}}}$

On pose :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\\\Delta _{2}={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

On a :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{t}}}&={\frac {\scriptstyle {\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2})}}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\&={\frac {\scriptstyle {\sqrt {1-k^{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2})}}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\&={\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2})}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\varphi _{2}}\varphi _{t}&={\frac {-k^{2}\tan \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\right]\cos ^{2}\varphi _{2}}}\\&={\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2})}}}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{t}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\end{aligned}}}$

• Démonstration de ${\displaystyle F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\varphi _{t},k\right)}$

L'équation est vraie pour ${\displaystyle \varphi _{2}=0}$. Il reste alors à démontrer que :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}=\partial _{\varphi _{2}}\int _{0}^{\varphi _{t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=(\partial _{\varphi _{2}}\varphi _{t})\partial _{\varphi _{t}}\int _{0}^{\varphi _{t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {\partial _{\varphi _{2}}\varphi _{t}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{t}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}$

• Démonstration de ${\displaystyle E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)=E\left(\varphi _{t},k\right)+k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\sin \varphi _{t}}$

L'équation est vraie pour ${\displaystyle \varphi _{2}=0}$. Il reste alors à démontrer que :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}&=\partial _{\varphi _{2}}\left(\int _{0}^{\varphi _{t}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta +k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\sin \varphi _{t}\right)\\&={\frac {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{t}+k^{2}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{t}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}+k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \varphi _{t}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{t}}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}-k^{2}\left(\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\left(\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}+\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}\Delta _{2}\right)\Delta _{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\Delta _{1}\Delta _{2}\right)\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+\Delta _{1}\Delta _{2}\right)\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)+k^{2}\sin ^{4}\varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+\sin ^{2}\varphi _{1}\left(1+k^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\end{matrix}}\right]\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left[-\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\left(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+k^{2}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]\Delta _{1}\Delta _{2}\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}}$

La moyenne arithmétique peut être calculée ainsi :

${\displaystyle F(\varphi _{1},k)+F(\varphi _{2},k)=2F\left[\arcsin {\frac {{\sqrt {(1+\sin \varphi _{1})(1+\sin \varphi _{2})}}-{\sqrt {(1-\sin \varphi _{1})(1-\sin \varphi _{2})}}}{{\sqrt {(1+k\sin \varphi _{1})(1+k\sin \varphi _{2})}}+{\sqrt {(1-k\sin \varphi _{1})(1-k\sin \varphi _{2})}}}},k\right]=2F\left[{\frac {\sin {\tfrac {\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2}}}{\cos {\tfrac {\arcsin(k\sin \varphi _{1})-\arcsin(k\sin \varphi _{2})}{2}}}},k\right]}$

Transformations

Les transformations de Landen (transformations de Landen, de Gauss et quartique AGM) facilitent les calculs numériques.

On a aussi les transformations réflexives :

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}(m)&={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K_{m}\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E_{m}(m)&={\sqrt {1-m}}\;E_{m}\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n\,|\,m)&={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}}\,|\,{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{m}(m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}=\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}{\frac {-\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}K_{m}\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E_{m}(m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}-{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '={\sqrt {1-m}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '={\sqrt {1-m}}\;E_{m}\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n\,|\,m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}=\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}{\frac {1}{1-n\cos ^{2}\theta '}}{\frac {-\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n\cos ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n+n\sin ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-{\frac {n}{n-1}}\sin ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}}\,|\,{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}}$

Cette transformation change le signe du paramètre, c.-à-d. change un module réel en un module imaginaire et vice-versa. Si cette transformation est appliquée deux fois de suite, le module d'origine est à nouveau créé. Cette transformation a donc un caractère réflexif.

Identité de Legendre

On a l'identité de Legendre : ${\displaystyle KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}}$, c.-à-d. :

• pour deux modules qui sont des homologues pythagoriciens :

${\displaystyle K\left(k\right)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$

• pour deux modules qui sont des homologues tangentiels :

${\displaystyle \left(1+k\right)K\left(k\right)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Ces modules sont homologues car^[20] :

${\displaystyle {\begin{cases}k'={\sqrt {1-k^{2}}}\Leftrightarrow k={\sqrt {1-k'^{2}}}\\k''={\frac {1-k}{1+k}}\quad \;\;\;\Leftrightarrow k={\frac {1-k''}{1+k''}}\end{cases}}}$

Nom elliptique

Nombres de Kotěšovec Kt(n)

Le nom elliptique peut être exprimée à partir des nombres de Kotěšovec Kt(n) ∈ ℕ (suite A005797 de l'OEIS) :

${\displaystyle q(k)=\exp \left[-{\frac {\pi \,K'(k)}{K(k)}}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)}{16^{n}}}k^{2n}}$

Cette suite n'est pas élémentaire mais de structure elliptique. Le rayon de convergence de cette série de Maclaurin^[21] est 1.

Kt(1)	Kt(2)	Kt(3)	Kt(4)	Kt(5)	Kt(6)	Kt(7)	Kt(8)
1	8	84	992	12 514	164 688	2 232 200	30 920 128

Nombres de Kneser Kn(n)

À partir de l'identité de Legendre, on a :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}q(k)=q(k){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\,{\frac {-\pi K'\left(k\right)}{K(k)}}={\frac {\pi \left[K(k)E'\left(k\right)+E(k)K'\left(k\right)-K(k)K'\left(k\right)\right]}{k\,k'^{2}K(k)^{2}}}q(k)={\frac {\pi ^{2}}{2k\,k'^{2}K(k)^{2}}}q(k)}$

et donc :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\ln q(k)={\frac {\pi ^{2}}{2k\,k'^{2}K(k)^{2}}}=-{\frac {\pi \,K'(k)}{K(k)}}}$

Au final, nous avons, pour ${\displaystyle -1<x<1}$, la fonction suivante que Adolf Kneser et Robert Fricke ont analysée :

${\displaystyle \int _{0}^{x}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k={\frac {1}{4}}\ln {\frac {16}{x^{2}}}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

La dérivation de cette équation par rapport à ${\displaystyle x}$ conduit à cette équation montrant la fonction génératrice de la suite de nombres de Kneser (suite A227503 de l'OEIS) :

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum \limits _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)\\{\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum \limits _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)\end{cases}}}$

Par exemple :

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}\left[{\frac {\pi ^{2}}{8k\,k'^{2}K(k)^{2}}}-{\frac {1}{2k}}\right]\mathrm {d} k={\frac {5}{4}}\ln 2-{\frac {\pi }{4}}}$

Robert Fricke a traité cette fonction avec le carré de l'intégrale K au dénominateur dans son célèbre ouvrage Les fonctions elliptiques et leurs applications et a dérivé cette formule en utilisant l'identité de Legendre. Adolf Kneser a également étudié cette fonction et a présenté, dans son ouvrage Nouvelle étude d’une série à partir de la théorie des fonctions elliptiques, le développement de la série MacLaurin associé, qui contient les coefficients de la suite A227503 de l'OEIS.

La suite de Kneser peut être générée alternativement à l'aide d'une suite de nombres d'Apery :

${\displaystyle {\text{Ap}}(n)=\sum _{a=0}^{n-1}\operatorname {CBC} (a)^{2}\operatorname {CBC} (n-1-a)^{2}}$

${\displaystyle {\text{Kn}}(n+1)=2^{4n+1}-{\frac {1}{8}}{\text{Ap}}(n+2)-\sum _{m=1}^{n}{\text{Kn}}(m){\text{Ap}}(n+2-m)}$

Kn(1)	Kn(2)	Kn(3)	Kn(4)	Kn(5)	Kn(6)	Kn(7)	Kn(8)
1	13	184	2 701	40 456	613 720	9 391 936	144 644 749

Nombres de Schellbach et Schwarz Sc(n)

Le nom elliptique a une définition identique aux définitions déjà évoquées via la suite numérique^[22],[23] selon Hermann Schwarz :

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}\left({\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}\right)^{4n-3}}$

${\displaystyle q(x)=x^{2}\left\{{\frac {1}{2}}+\left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}\,x^{2n}\right]\right\}^{4}}$

Les nombres de Schellbach et Schwarz Sc(n) forme la suite A002103 de l'OEIS^{[24],[25],[26],[27],[28]} :

Sc(1)	Sc(2)	Sc(3)	Sc(4)	Sc(5)	Sc(6)	Sc(7)	Sc(8)
1	2	15	150	1 707	20 910	268 616	3 567 400

Le mathématicien Karl Heinrich Schellbach (de) a découvert la suite de nombres entiers qui apparaît dans la série de MacLaurin à partir de la racine quatrième du quotient du nom elliptique (de) divisé par la fonction carrée. Ce scientifique^[29],[30] a construit cette suite en détail dans son ouvrage La doctrine des intégrales elliptiques et des fonctions thêta. Concrètement, à la page 60 de cet ouvrage, une synthèse de cette suite y est inscrite. Le mathématicien silésien-allemand Hermann Amandus Schwarzh a également écrit cette suite de nombres entiers dans son ouvrage Formules et théorèmes pour l'utilisation des fonctions elliptiques dans le chapitre Calcul de la quantité k aux pages 54 à 56. Cette suite de nombres de Schellbach-Schwarz Sc(n) a également été analysée au XX^e siècle par les mathématiciens Karl Theodor Wilhelm Weierstrass et Louis Melville Milne-Thomson. La méthode de génération des nombres de Schellbach suit ce modèle :

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Kn}}(n+1-m)}$

Relation avec la fonction thêta jacobienne

Le nom elliptique établit la relation entre la fonction thêta jacobienne et l'intégrale elliptique complète de première espèce :

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(k)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(k)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1+q(k)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}K(k)}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(k)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(k)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1-q(k)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}K(k)}}}$

Calcul de π (par Ramanujan)

Le mathématicien Srinivasa Ramanujan a noté, en 1914, des formules de séries convergeant très rapidement pour le calcul de ${\displaystyle \pi }$.

La fonction hypergéométrique généralisée définie par la série hypergéométrique :

${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left[{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(4n)!}{256^{n}n!^{4}}}\,x^{2n}}$

vérifie l'équation différentielle :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {K'\left(\tan {\tfrac {\arcsin x}{4}}\right)}{8K\left(\tan {\tfrac {\arcsin x}{4}}\right)}}\left[2\left(1+{\sqrt {1+x}}\right)\left(1+{\sqrt {1-x}}\right)\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right)+x{\sqrt {1-x^{2}}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right)\right]\\&-\,{\tfrac {4E\left(\tan {\tfrac {\arcsin x}{4}}\right)K'\left(\tan {\tfrac {\arcsin x}{4}}\right)-\pi }{16K\left(\tan {\tfrac {\arcsin x}{4}}\right)^{2}}}\left(2+{\sqrt {1+x}}+{\sqrt {1-x}}\right)\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right)={\frac {1}{\pi }}\end{aligned}}}$

Pour quelques valeurs de ${\displaystyle x}$, on a :

Module	Formule de ${\displaystyle \pi }$	Équation différentielle
${\displaystyle x={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1+8n)}{2{\sqrt {3}}n!^{4}48^{2n}}}={\frac {1}{\pi }}}$
${\displaystyle x={\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4n)!(1+10\,n)}{9n!^{4}12^{4n}}}={\frac {1}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9}}\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;{\frac {1}{9^{2}}}\right)+{\frac {10{\sqrt {2}}}{81}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right)\circ \left(x={\frac {1}{9}}\right)={\frac {1}{\pi }}}$
${\displaystyle x={\frac {1}{49}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3{\sqrt {3}}(4n)!(3+40n)}{49n!^{4}28^{4n}}}={\frac {1}{\pi }}}$
${\displaystyle x={\frac {1}{99}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(19+280\,n)}{18{\sqrt {11}}n!^{4}1\,584^{2n}}}={\frac {1}{\pi }}}$
${\displaystyle x={\frac {1}{9\,801}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4n)!(1\,103+26\,390\,n)}{9\,801n!^{4}396^{4n}}}={\frac {1}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {2\,206{\sqrt {2}}}{9\,801}}\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;{\frac {1}{9\,801^{2}}}\right)+{\frac {26\,390{\sqrt {2}}}{96\,059\,601}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{}_{3}F_{2}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}};1,1;x^{2}\right)\circ \left(x={\frac {1}{9\,801}}\right)={\frac {1}{\pi }}}$

Les équations obtenues avec ${\displaystyle x={\tfrac {1}{9}}}$ et ${\displaystyle x={\tfrac {1}{9\,801}}}$ conduisent à des formules de ${\displaystyle \pi }$ découvertes par Srinivasa Ramanujan, notamment la formule de ${\displaystyle \pi }$ (informations supplémentaires) la plus connue grâce à laquelle Srinivasa Ramanujan a acquis une renommée mondiale^{[réf. nécessaire]}.

Les mathématiciens Borwein, Bailey et Beeler ont successivement écrit les formules les plus importantes de Ramanujan dans leurs travaux et ont également expliqué les recherches de Ramanujan sur les intégrales elliptiques des 1^re et 2^e espèce ainsi que sur les fonctions hypergéométriques et leurs équations différentielles associées.

Cette procédure a également servi de base à l'algorithme de Chudnovski des mathématiciens David et Gregory Chudnovsky.

Exemples d'application

Périmètre d'une ellipse

Illustration géométrique d'une intégrale elliptique de deuxième espèce (${\displaystyle E(x;k)}$ est en fait ${\displaystyle E(x,k)}$)

Pour une ellipse de demi-grand axe ${\displaystyle a}$ et de demi-petit axe ${\displaystyle b}$, donc d'excentricité ${\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ et décrite par ${\displaystyle {\vec {r}}(\theta )=\left|{\begin{matrix}a\cos \theta \\b\sin \theta \end{matrix}}\right.}$, la longueur d'un arc de l'ellipse de l'équateur à une latitude ${\displaystyle \varphi }$ est :

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }\left\|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\vec {r}}(\theta )\right\|\,{\text{d}}\theta =\int _{0}^{\varphi }\left\|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left|{\begin{matrix}a\cos \theta \\b\sin \theta \end{matrix}}\right.\,\right\|\,{\text{d}}\theta =\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta \\&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta =a\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta =aE(\varphi ,e)\\L(2\pi )&=4aE\left(e\right)=4(a+b)E\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)-{\frac {8ab}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\end{aligned}}}$

où la transformation de Landen a été utilisée pour produire la dernière égalité.

Série Gauss-Kummer

En combinant linéairement ces trois formules :

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}\right]}$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}\right]}$

${\displaystyle k^{2}K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {4\,n^{2}\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}}$

on obtient la formule suivante :

${\displaystyle 2E(k)-(1-k^{2})K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}\right]}$

Soit ${\displaystyle k={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}=e_{-1}}$ où ${\displaystyle e_{-1}}$ est le module enfant obtenu par la transformation de Landen, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}L(2\pi )&=4(a+b)E\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)-{\frac {8ab}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)=2(a+b)\left[2E(k)-(1-k^{2})K(k)\right]\\&=2(a+b)\,{\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}\right]=\pi \,(a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2n}\right]\end{aligned}}}$

On obtient la série de Gauss-Kummer^[31],[32] :

${\displaystyle L(2\pi )=\pi \,(a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2n}\right]}$

Pendule oscillant

Une application classique des intégrales elliptiques est le mouvement exact d’un pendule dans le cas où les frottements sont ignorés. Soit ${\displaystyle l}$ la longueur du pendule, ${\displaystyle \theta }$ l'angle orienté par rapport à la verticale et ${\displaystyle g\simeq 9{,}81}$ m/s² l'accélération de la pesanteur. On a :

${\displaystyle l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta }$

En intégrant en fonction du temps à partir de la dernière formule mentionnée, on obtient l'expression suivante :

${\displaystyle {\dot {\theta }}^{2}=\int _{t_{\max }}^{t}2{\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{\max }}^{t}-2{\dot {\theta }}{\frac {g}{l}}\sin \theta \,\mathrm {d} t=2{\frac {g}{l}}\left(\cos \theta -\cos \theta _{\max }\right)=4{\frac {g}{l}}\left(\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\max }}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

La période d'oscillation pour un angle initial maximal et une longueur de tige donnés peut être calculée ainsi :

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\theta _{\max })&=4\int _{0}^{\max }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\dot {\theta }}}=\int _{0}^{\theta _{\max }}2{\sqrt {\frac {l}{g\left(\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\max }}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {\theta }{2}}\right)}}}\,\mathrm {d} \theta {\stackrel {\theta '=\arcsin {\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{\max }}{2}}}}}{=}}2{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \left[2\arcsin \left(\sin {\frac {\theta _{\max }}{2}}\sin \theta '\right)\right]}{\sin {\tfrac {\theta _{\max }}{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta '}}}}\\&=2{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sin {\tfrac {\theta _{\max }}{2}}\cos \theta '}}{\frac {2\sin {\frac {\theta _{\max }}{2}}\cos \theta '}{\sqrt {1-\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\max }}{2}}\sin ^{2}\theta '}}}\mathrm {d} \theta '\\&=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\tfrac {\theta _{\max }}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Périmètre et aire d'une courbe cassinienne

Pour le cas a < c, les ovale de Cassini obéissent à la relation suivante pour les coordonnées cartésiennes :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}}$

où a est la distance entre un point focal et l'origine et c est la distance entre un point focal et l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.

La longueur de cette courbe est :

${\displaystyle L=4\,c\,K\left[\sin \left({\frac {1}{2}}\arcsin {\frac {a^{2}}{c^{2}}}\right)\right]}$

La surface déterminée par cette courbe est :

${\displaystyle A=2\,c^{2}\,E\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}\right)}$

Potentiel scalaire électrique d'une distribution de charge homogène, continue et en forme d'anneau

Un problème classique de l'électrostatique est le calcul du potentiel scalaire électrique étant donné une distribution de charge spatiale donnée. Avec une distribution de charge homogène et continue en forme d'anneau, le potentiel scalaire électrique peut être décrit à l'aide de l'intégrale elliptique complète de 1^re espèce. Dans la solution donnée, ${\displaystyle Q}$ représente la charge électrique totale, ${\displaystyle R}$ le rayon de l'anneau et ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permittivité du vide. De plus, le potentiel scalaire est exprimé en coordonnées cylindriques ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$. Puisque le résultat ne dépend pas de l'azimut ${\displaystyle \varphi }$, le problème est à symétrie cylindrique.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{e}(\rho ,z)&={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \varphi }}}={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}-4R\rho \cos ^{2}(\varphi /2)}}}\\&=\left\{-{\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}F\left[{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\varphi }{2}},{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\right]\right\}_{\varphi =0}^{\varphi =\pi }={\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K\left[{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\right]\end{aligned}}}$

Potentiel scalaire électrique d'une distribution dipolaire homogène, continue et en forme d'anneau

En plus de la simple répartition des charges, il est également possible d'envisager une répartition annulaire de dipôles alignés axialement. La solution du potentiel scalaire électrique est donnée ci-dessous. ${\displaystyle p_{z}}$ est la composante du moment dipolaire électrique, ${\displaystyle R}$ représente le rayon de l'anneau et ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ la permittivité du vide. Le potentiel scalaire électrique peut être décrit en utilisant l'intégrale elliptique complète de 2^e espèce.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{e}(\rho ,z)&={\frac {p_{z}\,z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {(\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \varphi )^{3}}}}={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\varphi }{\sqrt {[(\rho +R)^{2}+z^{2}-4R\rho \cos ^{2}(\varphi /2)]^{3}}}}\\&=\left[{\frac {p_{z}\cdot z}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{[(\rho -R)^{2}+z^{2}]\cdot [(\rho +R)^{2}+z^{2}]}}{\biggl \{}{\frac {2R\rho \sin \varphi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \varphi }}}-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\,E{\biggl [}{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\varphi }{2}};{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\right]_{\varphi =0}^{\varphi =\pi }\\&={\frac {p_{z}\cdot z}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{[(\rho -R)^{2}+z^{2}]\cdot {\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}}\cdot E{\biggl [}{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}{\biggr ]}\end{aligned}}}$

Potentiel vectoriel magnétique d'un conducteur porteur de courant en forme d'anneau

Un exemple en magnétostatique des courants stationnaires est le calcul du champ magnétique d'un conducteur annulaire à travers lequel circule le courant. Il est conseillé de calculer le Potentiel vecteur du champ magnétique ${\displaystyle {\vec {A}}}$, à partir duquel la densité de flux magnétique peut être déterminée ultérieurement à l'aide du rotationnel. ${\displaystyle I}$ représente ici l'intensité du courant électrique, ${\displaystyle R}$ le rayon du conducteur annulaire et ${\displaystyle \mu _{0}}$ la perméabilité au vide. De plus, le potentiel vectoriel magnétique est exprimé en coordonnées cylindriques ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ et avec le vecteur de base unitaire dans la direction azimutale. La solution est représentée par une combinaison d'intégrales elliptiques complètes de 1^re et 2^e espèce. Le résultat est donné ici en utilisant la convention de Legendre. L'intégrale de Bulirsch ${\displaystyle \operatorname {cel} ()}$ donnée ci-dessous est particulièrement adaptée à l'évaluation numérique de la fonction spécifiée. L'avantage est une plus grande stabilité numérique au voisinage de ${\displaystyle \rho =0}$^[33].

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}(\rho ,z)&={\frac {\mu _{0}IR}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \varphi \;{\text{d}}\varphi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \varphi }}}{\vec {e}}_{\varphi }\\&={\frac {\mu _{0}I}{2\pi \rho }}\left\{{\frac {\rho ^{2}+R^{2}+z^{2}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K\left[{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\right]-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}E\left[{\frac {2{\sqrt {R\rho }}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\right]\right\}{\vec {e}}_{\varphi }\end{aligned}}}$

Références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Elliptische Integrale » (voir la liste des auteurs).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliptic integral » (voir la liste des auteurs).

(zh) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en chinois intitulé « 椭圆积分 » (voir la liste des auteurs).

Note :

1. Traduction sourcée souhaitée.

A : Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes - Adrien-Marie Legendre (1825)

1. page 27
2. page 11
3. page 13

B : (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

1. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
2. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
3. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
4. (en) W. P. Reinhardt et P. L. Walker, « Jacobian Elliptic Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
5. Certaines relations proviennent de l'article homonyme en chinois, lequel présente parfois des erreurs. On se référera à (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255).
6. (en) « Intégrale elliptique », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

C : Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)

1. page 14
2. page 34
3. page 28

Autres références :

1. E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.
2. (ru) И. С. Градштейн et И. М. Рыжик, Tablitsy integralov, summ, rjadov i proizvedenii, Moscow, Nauka,‎ 1971 (LCCN 78876185), « 8.1: Special Functions: Elliptic Integrals and Functions »
3. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling et Brian P. Flannery, Numerical Recipes in C, 2, 1992, 261–271 (ISBN 0-521-43108-5, lire en ligne), « Chap. 6.11 Special Functions: Elliptic Integrals and Jacobian Functions »
4. On rencontre tous les ordres d'arguments : ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle k}$ peuvent être permutés et ${\displaystyle n}$ peut apparaître comme le 1^er, le 2^ème ou le 3^ème argument de ${\displaystyle \Pi }$ et est en outre parfois défini par son opposé ${\displaystyle -n}$. On vérifiera enfin qu'avec la notation avec un point-virgule figure le sinus et avec la virgule figure l'angle. Par exemple, au lieu de ${\displaystyle \Pi (n,\varphi ,k)}$, Gradshteyn et Ryzhik^[2] utilise ${\displaystyle \Pi (\varphi ,n,k)}$, Numerical Recipes^[3] utilise ${\displaystyle \Pi (\varphi ,-n,k)}$, Harris Hancock utilise ${\displaystyle \Pi (n,k,\varphi )}$ autant que ${\displaystyle \Pi (n,k,\sin \varphi )}$^{[C 1]} et Legendre lui-même utilise ${\displaystyle \Pi }$ s'il n'y a pas d'ambiguïté^{[A 1]}.
5. La notation avec un indice ${\displaystyle {}_{m}}$ est une notation pour cet article de Wikipedia, ce n'est pas une notation officielle : l'indice est omis dans les ouvrages. Dans les ouvrages, le contexte permettra de savoir si la convention avec module ${\displaystyle k}$ ou paramètre ${\displaystyle m}$ est utilisée.
6. ${\displaystyle \Pi '}$ désigne aussi ${\displaystyle \Pi \left(-n,\varphi ,k\right)}$
7. (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)
8. Un exemple où ${\displaystyle p^{2}}$ et ${\displaystyle q^{2}}$ sont imaginaires, mais l'intégrale est réelle.
9. (en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.
10. , Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions, vol. 7, (ISSN 0029-599X, DOI 10.1007/BF01397975)
11. , Numerical computation of incomplete elliptic integrals of a general form, vol. 59, (ISSN 0923-2958, DOI 10.1007/BF00692874)
12. Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III, vol. 13, (DOI 10.1007/BF02165405)
13. « Elliptic Integral Singular Value » (consulté le 7 avril 2023)
14. , Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists, Springer Berlin Heidelberg, (DOI 10.1007/978-3-642-52803-3)
15. (en) « Mathematics : How to integrate ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{3}}}}\mathrm {d} x}$? » (consulté le 29 novembre 2022)
16. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Function » (consulté le 3 décembre 2022)
17. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate » (consulté le 3 décembre 2022)
18. (en) « Question : Numerically computing ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}dx}$ » (consulté le 29 novembre 2022)
19. (de) « Lemniscate of Leaf Function - ProQuest » (consulté le 3 décembre 2022)
20. ${\displaystyle k''}$ a été définit pour l'occasion ; ce n'est pas une définition officielle.
21. Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen
22. (en) « Series Expansion of EllipticNomeQ differs from older Mathematica Version » (consulté le 28 mai 2023)
23. , Icosahedral symmetry and the quintic equation, vol. 24, (ISSN 0898-1221, DOI 10.1016/0898-1221(92)90210-9)
24. , Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen., vol. 158, (ISSN 0075-4102)
25. (en) « Series Expansion of EllipticNomeQ differs from older Mathematica Version » (consulté le 11 juin 2023)
26. , Icosahedral symmetry and the quintic equation, vol. 24, (ISSN 0898-1221, DOI 10.1016/0898-1221(92)90210-9)
27. , An iterative method for inversion of power series, vol. 4, (ISSN 0001-0782, DOI 10.1145/366622.366629)
28. , Application of theta functions for numerical evaluation of complete elliptic integrals of the first and second kinds, Oak Ridge National Lab. (ORNL), Oak Ridge, TN (United States),
29. , Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den ThetaFunctionen,
30. , Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Functionen, Berlin, G. Reimer,
31. Une autre formule avec une fonction hypergéométrique pour la série de Gauss-Kummer (qui produit bien sûr les mêmes valeurs) est répertoriée sur math.wolfram.com.
32. Gérard P. Michon : Périmètre d'une ellipse Section Calculs rapides très précis. Sur : numericana.com Récupéré le 26 juillet 2015.
33. , Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates, Office of Scientific and Technical Information (OSTI), (DOI 10.2172/1377379)

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
• Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier-Villars, Paris, 1897, chap. VII
• Daniel Duverney, Introduction aux fonctions hypergéométriques, Ellipses, 2020
• Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre π, Hermann,‎ 1999
• Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications, chap. II (G. Carré, Paris, 1895)
• (en) Louis V. King, On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals, Cambridge University Press, 1924 (lire en ligne)
• Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, Huzard-Courcier, Paris, 1828
• (en) Benjamin Osgood Pierce (en), A Short Table of Integrals, Ginn & co., Boston, MA, 1899, p. 66
• Digital library of mathematical functions

Articles connexes

• Conique, Ellipse, Hyperbole, Lemniscate, Ovale de Cassini
• Courbe elliptique
• Intégrale non élémentaire
• Forme de Legendre, Forme symétrique de Carlson (en)
• Fonction elliptique, Fonction elliptique de Jacobi
• Nom elliptique (de)
• Transformation de Landen
• Identité de Legendre
• Application de Schwarz-Christoffel (en)
• polynômes de Legendre, coefficient binomial central, coefficient binomial, double factorielle, factorielle
• constante de la lemniscate, constante de Gauss, fonction bêta, fonction gamma, fonction lambda elliptique (de)

Liens externes

• (en) « Elliptic Integrals », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
• (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integrals », sur MathWorld, dont :
  • (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the First Kind », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Complete Elliptic Integral of the First Kind », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the Second Kind », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Complete Elliptic Integral of the Second Kind », sur MathWorld
  • (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the Third Kind », sur MathWorld
• (en) Izrail Solomonovich Gradshteyn et Iosif Moiseevich Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 5.1 (« Elliptic Integrals and Functions »)

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