Inégalité d'Askey-Gasper

En mathématiques, l'inégalité d'Askey-Gasper est une inégalité sur les polynômes de Jacobi démontrée par Richard Askey et George Gasper (en) en 1976^[1] et qui est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach^[2].

Énoncé

L'énoncé est :

Inégalité d'Askey-Gasper — Pour β ≥ 0, α + β ≥ 2 et –1 ≤ x ≤ 1, on a

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0}$

où ${\displaystyle P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$ est un polynôme de Jacobi.

Pour β = 0, la formule peut s'écrire

${\displaystyle {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\quad {\text{ avec }}\quad \ 0\leq t<1,\ \alpha >-1.}$

C'est dans cette forme, avec α entier, que l'inégalité a été utilisée par Louis de Branges dans sa démonstration de la conjecture de Bieberbach.

Démonstration

Shalosh B. Ekhad^[3] a donné une preuve courte de cette inégalité, en combinant l'inégalité :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}}$

avec la formule de Clausen (en).

Généralisations

Gasper et Rahman donnent, dans leur livre^[4], quelques généralisations de l'inégalité d'Askey-Gasper à des q-analogues de séries hypergéométriques généralisées.

Voir aussi

• Inégalité de Turán (en)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Askey–Gasper inequality » (voir la liste des auteurs).

1. Richard Askey et George Gasper, « Positive Jacobi polynomial sums. II », American Journal of Mathematics, vol. 98, n^o 3,‎ 1976, p. 709–737 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2373813, JSTOR 2373813, MR 0430358).
2. Richard Askey et George Gasper, « Inequalities for polynomials », dans Albert Baernstein, David Drasin,, The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985), Providence, R.I., American Mathematical Society (n^o 21), 1986 (ISBN 978-0-8218-1521-2, MR 875228, lire en ligne), p. 7–32.
3. Shalosh B. Ekhad, « A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture », Theoretical Computer Science, vol. 117, n^o 1,‎ 1993, p. 199–202 (ISSN 0304-3975, DOI 10.1016/0304-3975(93)90313-I, MR 1235178) — Numéro spécial : Maryse Delest, Gérard Jacob et Pierre Leroux (éditeurs), Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Bordeaux, 1991).
4. George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 96), 2004, 2^e éd., xxvi+428 (ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, lire en ligne), Section 8.9.

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