Inégalité de Hardy

L'inégalité de Hardy est une inégalité en mathématiques, portant le nom de G. H. Hardy. Ce résultat énonce que si ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ est une suite de nombres réels positifs ou nuls, alors pour tout nombre réel p > 1 on a ^[1]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$$

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vérifiée si et seulement si ${\displaystyle a_{n}=0}$ pour tout ${\displaystyle n}$.

Une version intégrale de l'inégalité de Hardy énonce ce qui suit : si ${\displaystyle f}$ est une fonction mesurable à valeurs positives définie sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$, alors

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\,\mathrm {d} x\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x.}$$

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vraie si et seulement si ${\displaystyle f(x)=0}$ presque partout.

L'inégalité de Hardy a été publiée et prouvée pour la première fois (du moins la version discrète avec une constante moins précise) en 1920 dans une note de Hardy^[2]. La formulation originale était sous une forme intégrale légèrement différente de la précédente.

Version générale avec poids

On a une version générale de l'inégalité de Hardy avec poids^[3] : ^:§329

• Si ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}<1}$, alors

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(1-\alpha -{\frac {1}{p}}\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x}$

• Si ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}>1}$, alors

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(\alpha +{\frac {1}{p}}-1\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x.}$

Version multidimensionnelle

Dans le cas multidimensionnel, l'inégalité de Hardy peut être étendue aux espaces ${\displaystyle L^{p}}$, prenant la forme ^[4]

$${\displaystyle \left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(R^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(R^{n})},2\leqslant n,1\leq p<n,}$$

où ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(R^{n})}$, et où la constante ${\displaystyle {\frac {p}{n-p}}}$ est optimale.

Démonstration de l'inégalité

Version intégrale

Un changement de variables donne $${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\ \mathrm {d} x\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,\mathrm {d} s\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p},}$$ qui est inférieur ou égal à ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\,\mathrm {d} s}$ par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à $${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}s^{-1/p}\,\mathrm {d} s={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}.}$$

Version discrète

En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ quand ${\displaystyle n\to \infty }$ . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à ${\displaystyle 2^{-j}}$. Cela permet de construire une suite décroissante ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geqslant \cdots }$ contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}$ pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant ${\displaystyle f(x)=b_{n}}$ si ${\displaystyle n-1<x<n}$ et ${\displaystyle f(x)=0}$ autrement. En effet, on a $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}}$$ et pour ${\displaystyle n-1<x<n}$, on a $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geqslant {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}}$$ (la dernière inégalité équivaut à ${\displaystyle (n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}}$, ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leqslant \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\,\mathrm {d} x.}$$

Voir également

• Inégalité de Carleman

Notes

1. Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, 2016, p. 303-304
2. (en) Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6, n^os 3–4,‎ 1920, p. 314–317 (DOI 10.1007/BF01199965, lire en ligne)
3. (en) Hardy, Littlewood et Pólya, Inequalities, Cambridge, UK, 1952, Second éd.
4. (en) Michael Ruzhansky et Durvudkhan Suragan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02894-7, lire en ligne)

Bibliographie

• (en) G. H. Hardy, Littlewood J.E. et Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge etc., Cambridge University Press, 1952, 324 p. (ISBN 0-521-35880-9)
• Michiel Hazewinkel, ed. Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001
• (en) Alois Kufner et Persson, Lars-Erik, Weighted inequalities of Hardy type, Singapore/River Edge (N.J.)/London etc., World Scientific Publishing, 2003, 357 p. (ISBN 981-238-195-3)
• Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (eds.), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011
• Michael Ruzhansky et Suragan, Durvudkhan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02895-4, lire en ligne)

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