Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions L^p, comme les espaces de suites ℓ^p. C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

Énoncé

Soient

• ${\displaystyle S}$ un espace mesuré,
• ${\displaystyle p,q>0}$ (la valeur ${\displaystyle +\infty }$ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$
• ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$.

Alors, le produit ${\displaystyle fg}$ appartient à ${\displaystyle L^{1}(S)}$ et sa norme est majorée naturellement :

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Plus généralement^[1], pour ${\displaystyle 0<p,q\leq +\infty }$ et ${\displaystyle r}$ défini par

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$,

si ${\displaystyle f\in L^{p}(S)}$ et ${\displaystyle g\in L^{q}(S)}$ alors ${\displaystyle fg\in L^{r}}$ et ${\displaystyle \lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}}$.

De plus, lorsque ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont finis, il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle |f|^{p}}$ et ${\displaystyle |g|^{q}}$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ non simultanément nuls tels que ${\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}$ p.p.

Démonstration

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young^[2].

Exemples

Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.

Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de ℝⁿ (ou de ℂⁿ), l'inégalité

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\ y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.}$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme ℓ^p : voir la section Inégalités de Hölder.

Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si (x_k) et (y_k) sont respectivement dans les espaces de suites ℓ^p et ℓ^q, alors la suite « produit terme à terme » (x_k y_k) est dans ℓ¹.

Cas extrémal

Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ L^p(S).

• Si p < +∞, alors${\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},}$
• Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie^[3]), alors${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.}$

Démonstration^[4]

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par ║f║_p.

Inversement, minorons cette borne supérieure par la norme p de f, que l'on peut supposer non nulle. Par homogénéité, supposons même que${\displaystyle \|f\|_{p}=1.}$

• Si p < +∞, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction g définie sur S par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}}$appartient à L^q où sa norme vaut 1 et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.}$
• Si p = +∞, soient ε ∈]0, 1[et A = [| f| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque ║f║_∞ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction g définie sur S par${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$appartient alors à L¹ où sa norme vaut 1 et l'on a${\displaystyle \int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .}$La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à ║f║_∞.

Remarques sur le cas p = +∞

• Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de ℓ^∞ définie par x_k = 1 – 2^–k alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans ℓ¹, ${\displaystyle \left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.}$
• Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que ║f║_∞ = 1.

Applications

• L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces L^p associés à une mesure finie de masse totale M :${\displaystyle 0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.}$(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
• Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de L^p si p ≥ 1.
• Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de L^p est L^q (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞^[5], et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

Généralisation

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

Soient 0 < r, p₁, …, p_n ≤ +∞ tels que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}}$

et n fonctions f_k ∈ L^p_k(S). Alors, le produit des f_k appartient à L^r(S) et

${\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.}$

De plus, lorsque tous les p_k sont finis, il y a égalité si et seulement si les |f_k|^p_k sont colinéaires p.p.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hölder's inequality » (voir la liste des auteurs).

1. Si ${\displaystyle s<1}$, ║ ║_s n'est pas une norme en général, mais cela n'intervient pas dans la démonstration.
2. Voir par exemple (pour la seconde méthode) Bernard Maurey, « Intégration et Probabilités (M43050), cours 15 », sur université Paris VII - Diderot, 2010 ou (pour les deux) cet exercice corrigé sur Wikiversité.
3. Comme la mesure de dénombrement sur un ensemble au plus dénombrable ou la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ.
4. Maurey 2010.
5. (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP, 2004, 184 p. (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 120, remarque : « Curieusement, la propriété que chaque élément de L^p* atteint sa norme est équivalente au fait que L^p est réflexif, sans avoir en fait rien besoin de savoir sur l'espace dual L^p*  ! ».

Bibliographie

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

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