Inégalité de Lebedev-Milin

En mathématiques, l'inégalité de Lebedev–Milin est l'une des nombreuses inégalités concernant les coefficients de l'exponentielle d'une série entière. Elle a été trouvée en 1965 par Lebedev et Millin^[1] et est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach, car elle permet de montrer que la conjecture de Milin implique la conjecture de Robertson.

Explication

Etant donné une série exponentielle,

${\displaystyle \exp \left(\sum _{k\geq 1}\alpha _{k}z^{k}\right)=\sum _{k\geq 0}\beta _{k}z^{k}}$

où ${\displaystyle \alpha _{k}}$ et ${\displaystyle \beta _{k}}$ sont des nombres complexes, et ${\displaystyle n}$ est un entier positif, alors

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right),}$

${\displaystyle |\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right).}$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lebedev–Milin inequality » (voir la liste des auteurs).

1. Lebedev et Milin 1965.

Bibliographie

• (en) John Conway, Functions of One Complex Variable II, Berlin, New York, Springer, 1995, 416 p. (ISBN 978-0-387-94460-9, OCLC 32014394, lire en ligne).
• (en) Arcadii Z. Grinshpan, « The Bieberbach conjecture and Milin's functionals », The American Mathematical Monthly, vol. 106, n^o 3,‎ 1999, p. 203–214 (DOI 10.2307/2589676, JSTOR 2589676, MR 1682341).
• (en) Arcadii Z. Grinshpan, « Logarithmic Geometry, Exponentiation, and Coefficient Bounds in the Theory of Univalent Functions and Nonoverlapping Domains », dans Reiner Kuhnau, Geometric Function Theory, Amsterdam, North-Holland, coll. « Handbook of Complex Analysis » (n^o 1), 2002 (ISBN 0-444-82845-1, MR 1966197, zbMATH 1083.30017), p. 273–332.
• (en) Jacob Korevaar, « Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges », The American Mathematical Monthly, vol. 93,‎ 1986, p. 505–514 (ISSN 0002-9890, DOI 10.2307/2323021, JSTOR 2323021, MR 856290).
• (en) Nikolaĭ Andreevich Lebedev et Isaak Moiseevich Milin, « An inequality », Vestnik Leningrad University. Mathematics, vol. 20, n^o 19,‎ 1965, p. 157–158 (ISSN 0146-924X, MR 0186793).
• (en) Isaak Moiseevich Milin, Univalent functions and orthonormal systems, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Translations of Mathematical Monographs » (n^o 49), 1977 (1^re éd. 1971), iv+202 p. (ISBN 0-8218-1599-7, MR 0369684, zbMATH 0342.30006) (Traduction de l'édition en russe de 1971).
• Joseph Oesterlé, « Démonstration de la conjecture de Bieberbach », Séminaire Bourbaki, vol. 27, n^o 649,‎ 1984-1985, p. 319-334 (lire en ligne).

Voir aussi

• Formule exponentielle (sur l'exponentiation des séries entières).
• Conjecture de Bieberbach

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