Inégalités de Newton

En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entre elles les fonctions symétriques élémentaires.

Soient a₁, a₂, … , a_n des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes symétriques S_k définies par

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }$

Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les ${\displaystyle n}$ variables a₁, a₂, … , a_n. Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique. ${\displaystyle S_{1}}$ est la moyenne arithmétique, et ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$ la moyenne géométrique.

Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1}$ et en posant ${\displaystyle S_{0}=1}$ ^[1]:

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leqslant S_{k}^{2}.}$

Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les a_i sont égaux.

Par exemple, pour ${\displaystyle n=3}$, les inégalités de Newton s'écrivent ${\displaystyle 3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^{2}}$ et ${\displaystyle 3abc(a+b+c)\leqslant (ab+bc+ca)^{2}}$.

Articles connexes

• Inégalités de Maclaurin qui en sont une conséquence.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Newton's inequalities » (voir la liste des auteurs).

Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, 2016, p. 294-296

• Isaac Newton, Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber, 1707
• Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p.   55
• Maclaurin, « A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra, », Philosophical Transactions, vol. 36, n^os 407–416,‎ 1729, p. 59–96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)
• Whiteley, « On Newton's Inequality for Real Polynomials », The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, vol. 76, n^o 8,‎ 1969, p. 905–909 (DOI 10.2307/2317943, JSTOR 2317943)
• Niculescu, « A New Look at Newton's Inequalities », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 1, n^o 2,‎ 2000 (lire en ligne)

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