Gibbons est né en Angleterre, d'un père scientifique et d'une mère artiste[2]. Il commence ses études de piano à Stockton-on-Tees, et les poursuit à Oxford. Il se produit pour la première fois en public à l'âge de dix ans et fait ses débuts à Londres en 1979[3], à dix-sept ans, dans un concert entièrement consacré à Charles-Valentin Alkan, notamment avec le Concerto pour piano seul et l'Ouverture de l'op. 39[4]. À vingt ans, il remporte le premier prix du concours de piano de Newport, avec une interprétation du Concerto pour piano n° 4 de Beethoven, donné avec l'Orchestre symphonique BBC du Pays de Galles. En 1984, il fait ses débuts au Queen Elizabeth Hall[5], en interprétant les Variations Goldberg de Bach, la Sonate « marche Funèbre » de Chopin et Gaspard de la nuit de Ravel ; après le récital, Le Times écrivait que Gibbons « pourrait être la réponse britannique à Ivo Pogorelić »[6],[7]. Depuis lors, Gibbons joue dans de nombreux lieux prestigieux et festivals à travers le monde, en récital et en soliste[8].
Pendant seize ans, de 1990 à 2005, Gibbons donne des concerts annuels entièrement consacrés à Gershwin au Queen Elizabeth Hall ; sauf en 2001, en raison d'un accident de voiture quasi-fatal. Ces concerts présentent les reconstructions et transcriptions note-pour-note, des enregistrements originaux d'improvisations et de concerts d'œuvres de George Gershwin[9]. Au cours des seize années de concerts, Gibbons a donné la première mondiale d'au moins 48 œuvres originales reconstruites de Gershwin. Depuis 1994, il a donné des concerts semblables tout Gershwin à New York au Merkin Hall, Alice Tully Hall et Carnegie Hall[10].
En 1992, Gibbons fait ses débuts au disque sur le label Hyperion, avec The Rio Grande de Constant Lambert, nommé pour un Gramophone Award et accordé un Penguin Guide 3 étoiles de la rosette[11]. Entre 1992 et 1997, Gibbons enregistre quatre disques intitulés, « George Gershwin authentique », qui ont remporté un Music Retailers Award et publié par le label britannique ASV. Ces enregistrements ont été décrites par Classics CD comme « un témoignage unique du génie de Gershwin »[12].
En , à Oxford, Gibbons interprète pour la première fois les Douze Études dans les tons mineurs, op. 39 de Charles-Valentin Alkan en un seul concert (répété l'année suivante, au Queen Elizabeth Hall de Londres)[13]. Gibbons grave l'œuvre (son premier enregistrement numérique) pour le label l'ASV, le même mois. Michael Stewart dans le magazine Gramophone décrit l'interprétation comme « parmi les plus extraordinaires exploits du pianisme que j'ai entendu au disque »[14]. Toujours en 1995, le , Gibbons fait ses débuts aux concerts des BBC Proms, au Royal Albert Hall, avec la Rhapsody in Blue de Gershwin, la BBC décrivant Gibbons comme « le pianiste Gershwin de notre temps »[15]. En 1997, Gibbons écrit et présente un documentaire de la BBC sur George Gershwin, en prévision du centenaire de la naissance du musicien, avec l'acteur Ben Kingsley pour la voix de George Gershwin[16].
En , Gibbons subit un accident de voiture mettant sa vie en danger[17]. Cet accident de Gibbons et la récupération a été l'objet de beaucoup d'attention des médias, presse écrite, radio et télévision britannique, avec des articles notamment dans le Sunday Times, le magazine Gramophone, la BBC, etc. Michael Church, dans le Daily Express décrit un retour ultérieur à la scène de Gibbons comme « miraculeux » et « courageux »[18]. À la suite de son grave accident de voiture, Gibbons donne plus d'attention à la composition dans sa carrière. Après succès d'enfance en tant que compositeur, Gibbons avait abandonné sa composition depuis vingt-cinq ans, en faveur de l'interprétation vivante[19]. La musique de Gibbons est depuis exécutée au Carnegie Hall de New York, au Queen Elizabeth Hall à Londres et enregistrée par la BBC[20],[21]. À ce jour (), le nombre des compositions de Gibbons dépassent les 70, dont 40 œuvres chorales ou vocales (surtout pour la voix de soprano), 30 œuvres pour piano seul et deux œuvres pour orchestre à cordes.
La carrière de concertiste de Gibbons se poursuit parallèlement à la pratique de la composition. En , Gibbons donne la première interprétation au Carnegie Hall, du Concerto pour piano seul d'Alkan, lors de la célébration du 150e anniversaire de la publication à Paris, en 1857[22]. Gibbons continue à se produire à Oxford, où il présente et joue au festival de piano, chaque année sans interruption depuis 1988[23].
Depuis 2010, Gibbons est artiste en résidence au Davis & Elkins College d'Elkins en Virginie[24].