Lemme d'Artin-Tate

En algèbre, le lemme d'Artin-Tate énonce^[1] :

Soit A un anneau commutatif noethérien et ${\displaystyle B\subset C}$ des A-algèbres commutatives. Si C est de type fini sur A et si C est fini sur B, alors B est de type fini sur A.

(Ici, « de type fini » signifie « algèbre de type fini » et « fini » signifie « module de type fini ».)

Ce lemme a été introduit par Emil Artin et John Tate en 1951^[2] pour donner une preuve du théorème des zéros de Hilbert.

Le lemme est similaire au théorème d'Eakin-Nagata, qui dit que : si C est fini sur B et C est un anneau noethérien, alors B est un anneau noethérien.

Preuve

La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald^[3]. Soient ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre et soient ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ comme ${\displaystyle B}$-module. On peut alors écrire

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{et}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}$

avec ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$. Alors ${\displaystyle C}$ est fini (engendré par ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$) sur la ${\displaystyle A}$-algèbre ${\displaystyle B_{0}}$ engendrée par les ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$. En utilisant le fait que ${\displaystyle A}$ et donc ${\displaystyle B_{0}}$ sont noethériens, le sous-module ${\displaystyle B\subset C}$ est lui aussi fini sur ${\displaystyle B_{0}}$. Puisque ${\displaystyle B_{0}}$ est de type fini en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre, ${\displaystyle B}$ est aussi une ${\displaystyle A}$-algèbre de type fini.

Nécessité de la noethérianité

Sans l'hypothèse que A est noethérien, l'énoncé du lemme d'Artin-Tate n'est plus vrai. En effet, pour tout anneau A non noethérien, on peut définir une structure de A-algèbre sur ${\displaystyle C:=A\oplus A}$ en posant ${\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)}$. Alors pour tout idéal ${\displaystyle I\subset A}$ qui n'est pas de type fini, ${\displaystyle B:=A\oplus I\subset C}$ n'est pas de type fini sur A, bien que toutes les autres hypothèses du lemme soient satisfaites.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Artin–Tate lemma » (voir la liste des auteurs).

1. (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995 (ISBN 0-387-94268-8), Exercise 4.32.
2. E. Artin et J. T Tate, « A note on finite ring extensions », J. Math. Soc. Japan, vol. 3, 1951, p. 74-77.
3. (en) M. F. Atiyah et I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra (lire en ligne), Proposition 7.8.

Voir aussi

Article connexe

Élément entier

Lien externe

http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma

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