Lemme de Mazur

En analyse fonctionnelle (mathématique), le lemme de Mazur — ou théorème de Mazur^[1] — assure que dans un espace vectoriel normé, toute limite faible d'une suite (x_n)_n∈ℕ est limite forte (c'est-à-dire en norme) d'une suite combinaisons convexes des vecteurs x_n. Cette propriété est utilisée en calcul des variations, par exemple pour démontrer le théorème de Tonelli (en)^[2],[3].

Énoncé

Dans un espace vectoriel normé X, soit (x_n)_n∈ℕ une suite convergeant faiblement vers un vecteur x de X, c'est-à-dire que pour toute forme linéaire continue f sur X,

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x).}$

Alors il existe une suite (y_n)_n∈ℕ à valeurs dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des valeurs de la suite (x_n)_n∈ℕ, et même^[4] telle que pour tout entier n, le terme y_n soit de la forme

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}x_{k}{\text{ avec }}\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}=1{\text{ et }}\forall k\in \{n,\ldots ,N_{n}\},~\lambda _{n,k}\in \mathbb {R} ^{+},}$

qui converge en norme vers x, c'est-à-dire telle que

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left\|y_{n}-x\right\|=0.}$

Démonstration

On^[5] utilise les trois résultats suivants, valables dans tout espace vectoriel topologique localement convexe métrisable, en particulier dans un espace vectoriel normé :

1. l'adhérence de tout convexe est convexe ;
2. tout convexe fermé est faiblement fermé ;
3. tout point adhérent à une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.

Pour tout entier n > 0, soit C_n l'enveloppe convexe de l'ensemble des x_k pour k ≥ n. Son adhérence C_n est convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien que C_n contient l'adhérence faible de C_n, qui elle-même contient x par hypothèse. D'après le point 3, il existe donc y_n ∈ C_n tel que ‖x – y_n‖ < 1/n.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Mazur » (voir la liste des auteurs).

1. Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 38.
2. (en) Ivar Ekeland et Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, vol. 1, SIAM, 1976, 402 p. (ISBN 978-0-89871-450-0, lire en ligne), p. 389.
3. (en) Fei-tsen Liang, « Nonlinear Variational Problems ».
4. (de) Dirk Werner (de), Funktionalanalysis, Springer, 2007, 6^e éd., 531 p. (ISBN 978-3-540-72533-6, lire en ligne), p. 108, ne mentionne pas cette légère amélioration dans l'énoncé du lemme de Mazur. (en) Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2011 (lire en ligne), p. 61 non plus, mais il la propose en exercice p. 80.
5. (en) Ivar Ekeland et Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM, 1999 (1^re éd. 1976, North-Holland) (lire en ligne), p. 6.

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