Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker^[1],[2] (ci-après FLRW) est une solution exacte de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein^[3]. Elle décrit un univers homogène et isotrope, en expansion ou en contraction^[3]. L'espace-temps dont la métrique décrit la géométrie est feuilleté par des espaces tridimensionnels (hypersurfaces à trois dimensions et de genre temps) de courbure constante^[4]. Celle-ci est soit nulle, soit positive, soit négative^[4]. En cosmologie, cette métrique est utilisée pour la description de l'évolution de l'Univers aux grandes échelles. Elle constitue l'outil principal amenant la construction du modèle cosmologique standard : la théorie du Big Bang^[5].

Histoire

Les éponymes de la métrique sont Alexandre Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walker^[2],[6],[7].

Friedmann obtient la métrique dès 1922^[8] pour le cas d'un univers fermé^[9],[10] puis en 1924 pour celui d'un univers ouvert^[9],[11]. Indépendamment de Friedmann^[8], Lemaître obtient la métrique en 1927^[8] pour le cas d'un univers ouvert^[9],[12]. Robertson obtient en 1929 la métrique pour le cas le plus simple d'un univers plat^[9]. Robertson en 1933 puis Walker en 1935^[13] obtiennent la métrique générale^[14]. Il en démontrent, en 1935, l'unicité : elle est l'unique métrique pour un espace-temps homogène et isotrope^[8].

Il a été noté^[6] une tendance à se référer à la métrique sous le nom de métrique de Robertson-Walker^{[2],[15],[16],[N 1]} (RW) et à réserver le nom de Friedmann-Lemaître aux équations qui en décrivent sa dynamique^[6]. Mais, suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon d'autres combinaisons des noms d'une partie des quatre scientifiques^[20]. On trouvera, par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Friedmann-Lemaître (FL)…

Évolution de l'Univers selon la métrique FLRW

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

Formulation mathématique

La métrique FLRW est de forme^{[21],[22],[23],[24]} :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$,

où :

• ${\displaystyle x^{\mu }(\mu =0,1,2,3)}$ sont les coordonnées d'espace-temps, avec :
  • ${\displaystyle x^{0}=t}$, la coordonnée de temps ;
  • ${\displaystyle x^{i}(i=1,2,3)}$, les trois coordonnées d'espace ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière^[2] dans le vide ;
• ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est la métrique induite^[23],[24] sur les hypersurfaces à trois dimensions^[23] de genre espace^[23],[24].

En coordonnées sphériques ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$^[25], l'élément de longueur d'espace-temps ${\displaystyle ds}$, pour la métrique FLRW, se note :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

en choisissant la signature de la métrique (en) ${\displaystyle (+---)}$ où :

• ${\displaystyle a(t)\;}$est le facteur d'échelle. Le signe de ${\displaystyle {\dot {a}}(t)}$ renseigne sur l'évolution de l'Univers : ${\displaystyle {\dot {a}}(t)>0}$ pour un univers en expansion, ${\displaystyle {\dot {a}}(t)<0}$ pour un univers en contraction et ${\displaystyle {\dot {a}}(t)=0}$ pour un univers statique, le tout considéré au temps ${\displaystyle t}$. Pour un temps ${\displaystyle t_{a}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{a})=N>1}$, l'Univers est ${\displaystyle N}$ fois plus grand que maintenant. Pour un temps ${\displaystyle t_{b}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{b})=1/N<1}$, l'Univers est ${\displaystyle N}$ fois plus petit que maintenant ;
• ${\displaystyle k\;}$est le facteur de courbure^[26] et peut valoir ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle +1}$. La valeur ${\displaystyle k=-1}$ correspond à un espace à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), la valeur ${\displaystyle k=0}$ correspond à un espace à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte), et la valeur ${\displaystyle k=+1}$ correspond à un espace à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique, ou doublement elliptique, ou à une géométrie elliptique, ou simplement elliptique) ;
• ${\displaystyle \textstyle {\rm {d}}\Omega ^{2}={\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;{\rm {d}}\phi ^{2}}$^[25] est la métrique sur la sphère ;
• ${\displaystyle a}$ est homogène à une longueur^[21] ;
• ${\displaystyle t}$ est le temps cosmique^[26] ;
• ${\displaystyle r}$ est sans dimension^[21] ;

En introduisant le changement de coordonnées : ${\displaystyle {\begin{cases}r=\sin(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=1\\r=\chi /R_{0}&{\textrm {si}}\ k=0\\r=\sinh(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}}$ où ${\displaystyle \chi \;}$ permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur ${\displaystyle ds}$ se reformule :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+S_{k}^{2}(\chi ){\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle S_{k}(\chi )=R(t_{0}){\begin{cases}\sin(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=1\\\chi /R(t_{0})&{\textrm {si}}\ k=0\\\sinh(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}\;}$.

Métrique FLRW en fonction de la courbure spatiale

Dans un espace plat

Pour ${\displaystyle k=0\;}$, la métrique FLRW se note :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\rm {d}}r^{2}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}$

L'espace est plat mais pas l'espace-temps. La métrique est différente de la métrique de Minkowski caractérisant la relativité restreinte.

Dans un espace de courbure positive

Pour ${\displaystyle k=+1\;\;}$, la métrique FLRW s'écrit :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-r^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

L'élément de longueur possédant une singularité en ${\displaystyle r=1}$, on préfèrera utiliser son expression selon ${\displaystyle \chi }$ :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+R(t_{0})^{2}\sin ^{2}\left(\chi /R(t_{0})\right)\;{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}$

Dans un espace de courbure négative

Pour ${\displaystyle k=-1\;}$, il vient finalement :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-R(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1+r^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+R(t_{0})^{2}\sinh ^{2}\left(\chi /R(t_{0})\right)\;{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)\;}$

Notes et références

Notes

1. En anglais : Robertson-Walker metric^{[15],[17],[18],[19]}.

Références

1. Barrau et Grain 2016, § 7.1.2 (« Forme de la métrique »), p. 131.
2. Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v. Robertson-Walker (métrique de), p. 609, col. 1.
3. Petrov et al. 2017, chap. 5, sec. 5.3, § 5.3.2, p. 233.
4. Griffiths et Podolský 2009, chap. 6, sec. 6.1, p. 69.
5. L. Bergström, A. Goobar, Cosmology and Particle Astrophysics, page 61, 2^de édition (2006), (ISBN 3-540-32924-2)
6. Taillet 2023, introduction, p. 262.
7. Daniel et Peter 2019, chap. 3, sec. 3.1, § 3.1.4, p. 159.
8. Dimopoulos 2020, chap. 2, sec. 2.9, p. 33.
9. Plebański et Krasiński 2006, partie II, chap. 17, sec. 17.1, p. 262.
10. Friedmann 1922.
11. Friedmann 1924.
12. Lemaître 1927.
13. Robertson 1935.
14. Plebański et Krasiński 2006, partie II, chap. 17, sec. 17.1, p. 263.
15. EDDA, s.v. Robertson-Walker metric.
16. EU, s.v. Robertson-Walker (métrique de).
17. Coles 1999, s.v. Robertson-Walker metric, p. 312.
18. EB, s.v. Robertson-Walker metric.
19. OR, s.v. Robertson-Walker metric.
20. Allday 2019, chap. 12, notes, 6, p. 315.
21. Binétruy 2006, appendices, D, D.2, p. 457.
22. Rubakov et Gorbunov 2017, chap. 2, sec. 2.2, p. 38.
23. Wallisch 2019, chap. 2, sec. 2.1, § 2.1.1, p. 10.
24. Wands et Maartens 2015, § 4.1.1, p. 163.
25. Pérez 2016, p. 269.
26. Pérez 2016, p. 270.

Voir aussi

Bibliographie

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• [Friedmann 1924] (de) Alexandre Friedmann, « Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes » [« Sur la possibilité d'un univers à courbure négative constante »], Zeitschrift für Physik, vol. 21, n^o 1,‎ décembre 1924, p. 326-332 (DOI 10.1007/BF01328280, Bibcode 1924ZPhy...21..326F).
• [Lemaître 1927] Georges Lemaître, « Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant, rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques », Annales de la Société scientifique de Bruxelles,‎ 1927, A47, p. 49-59 (Bibcode 1927ASSB...47...49L, lire en ligne [PDF]).
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• [Robertson 1936b] (en) Howard Percy Robertson, « Kinematics and world-structure. III », Astrophys. J., vol. 83, n^o 4,‎ mai 1936, p. 257-271 (DOI 10.1086/143726, Bibcode 1936ApJ....83..257R, lire en ligne [PDF]).
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Ouvrages fondamentaux

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Dictionnaires et encyclopédies

• [Coles 1999] (en) Peter Coles (éd.), New cosmology [« Nouvelle cosmologie »], New York, Routledge, coll. « Routledge critical dictionary series », 1999, 1^re éd., XIV-392 p., 15,9 × 23,5 cm (ISBN 0-415-92354-9, EAN 9780415923545, OCLC 40473720, SUDOC 049318888, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, s.v. Robertson-Walker metric, p. 312-314.
• [Taillet, Villain et Febvre 2013] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., février 2013, 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-899 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Robertson-Walker (métrique de), p. 609, col. 1.

Articles connexes

• Alexandre Friedmann
• Big Bang
• Équations de Friedmann
• Georges Lemaître
• Modèle standard de la cosmologie
• Relativité générale
• Univers fini de Friedmann

Liens externes

• [EB] (en) James Evans, « Robertson-Walker metric » [« métrique de Robertson-Walker »] , astromnomy, Encyclopædia Britannica.
• (en) Robertson-Walker metric (métrique de Robertson-Walker) sur l'Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics de l'Observatoire de Paris.
• [EU] Marc Lachièze-Rey, « Robertson-Walker (métrique de) », cosmologie, Encyclopædia Universalis.
• [OP] Michèle Gerbaldi, Gilles Theureau et Benoît Mosser, « La métrique de Robertson-Walker » , Lumières sur l'Univers, Observatoire de Paris.
• [OR] (en) « Robertson-Walker metric » [« métrique de Robertson-Walker »], notice d'autorité n^o 20110810105739456 , Oxford Reference, Oxford University Press.

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