Modèle de Schwinger

En physique, le modèle de Schwinger^[1], du nom du physicien Julian Schwinger, est le modèle décrivant l'électrodynamique quantique euclidienne 2D avec un fermion de Dirac. Ce modèle expose une brisure spontanée de symétrie de la symétrie U(1) à cause du condensat chiral dû à une réserve d'instantons. Le photon devient maintenant une particule massive. Ce modèle peut être résolu exactement et est utilisé comme modèle-jouet pour d'autres théories plus complexes.

Le modèle a un lagrangien:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi }$

Où ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$ est égal à ${\displaystyle U(1)}$ la force du champ de photons, ${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-iA_{\mu }}$ est la dérivée du covariant de jauge, ${\displaystyle \psi }$ est la spinorbitale du fermion, ${\displaystyle m}$ la masse du fermion et ${\displaystyle \gamma ^{0},\gamma ^{1}}$ forment la représentation 2D de l'algèbre de Clifford.

Modèle de Schwinger sans masse

Dans une jauge où le potentiel vecteur est mis à zéro^[2], le Hamiltonien du modèle devient pour ${\displaystyle m=0}$

${\displaystyle H=-i\int \psi ^{\dagger }\sigma ^{3}\partial _{x}\psi +\int dx{\frac {E^{2}}{2g^{2}}}}$,

où ${\displaystyle \sigma ^{3}}$est une matrice de Pauli, et le champ électrique satisfait l'équation de Maxwell-Gauss ${\displaystyle \partial _{x}E=\psi ^{\dagger }\psi }$. En utilisant une technique de bosonisation on peut réécrire ce Hamiltonien

${\displaystyle H=\int {\frac {dx}{2}}[P^{2}+(\partial _{x}\phi )^{2}+{\frac {\phi ^{2}}{g^{2}}}]}$

qui est celui de l'Équation de Klein-Gordon à une dimension. Ses excitations de basse énergie sont donc des bosons massifs de spin 0. Les opérateurs de création de fermions générant une discontinuité du champ ${\displaystyle \phi (x)}$, il n'est pas possible de créer un fermion isolé, mais seulement des paires fermion-antifermion. Si le champ électrique à l'infini ne s'annule pas, on doit remplacer dans le Hamiltonien ${\displaystyle \phi ^{2}/g^{2}}$ par ${\displaystyle (\phi +\chi )^{2}/g^{2}}$ où ${\displaystyle \chi }$ est proportionnel au champ électrique à l'infini. Les opérateurs de création de fermions créant une discontinuité de ${\displaystyle \phi }$ égale à ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, les fermions restent confinés sauf pour ${\displaystyle \chi =\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$. Dans ce cas, il est possible en faisant alterner les fermions et les antifermions d'obtenir des particules déconfinées^[3],[4].

Modèle de Schwinger massif

Pour ${\displaystyle m\neq 0}$, le Hamiltonien devient^[4]

${\displaystyle H=\int {\frac {dx}{2}}[P^{2}+(\partial _{x}\phi )^{2}+{\frac {\phi ^{2}}{g^{2}}}-m\cos {\sqrt {4\pi }}(\phi -\chi )]}$

où ${\displaystyle \chi }$ comme précédemment est proportionnel au champ électrique à l'infini. Pour ${\displaystyle \chi =\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$, le potentiel présente un double puits symétrique lorsque ${\displaystyle m}$ est suffisamment grand, ce qui entraîne une brisure spontanée de symétrie. La transition de phase en fonction de ${\displaystyle m}$ est dans la classe d'universalité du modèle d'Ising bidimensionnel^[4].

Ce modèle expose le confinement des fermions et comme tel, est un modèle jouet pour la chromodynamique quantique. Une explication simple (bien que pas entièrement correcte^[5]) est que, en deux dimensions, l'énergie potentielle (classique) entre deux particules est une fonction linéaire, au lieu de la forme en 1/r en 4 dimensions (3 d'espace et 1 de temps).

Notes et références

1. Julian Schwinger, « Gauge Invariance and Mass. II », Physical Review, vol. 128, n^o 5,‎ 1^er décembre 1962, p. 2425–2429 (DOI 10.1103/PhysRev.128.2425, lire en ligne, consulté le 8 février 2022)
2. (en) Kirill Melnikov et Marvin Weinstein, « Lattice Schwinger model: Confinement, anomalies, chiral fermions, and all that », Physical Review D, vol. 62, n^o 9,‎ 9 octobre 2000, p. 094504 (ISSN 0556-2821 et 1089-4918, DOI 10.1103/PhysRevD.62.094504, lire en ligne, consulté le 10 février 2022)
3. (en) Sidney Coleman, « More about the massive Schwinger model », Annals of Physics, vol. 101, n^o 1,‎ septembre 1976, p. 239–267 (DOI 10.1016/0003-4916(76)90280-3, lire en ligne, consulté le 21 mai 2022)
4. (en) R. Shankar et Ganpathy Murthy, « Deconfinement in d = 1 : Asymptotic and half-asymptotic particles », Physical Review B, vol. 72, n^o 22,‎ 9 décembre 2005, p. 224414 (ISSN 1098-0121 et 1550-235X, DOI 10.1103/PhysRevB.72.224414, lire en ligne, consulté le 21 mai 2022)
5. (en) S. Iso et H. Murayama, « Hamiltonian Formulation of the Schwinger Model: Non-Confinement and Screening of the Charge », Progress of Theoretical Physics, vol. 84, n^o 1,‎ 1^er juillet 1990, p. 142–163 (ISSN 0033-068X et 1347-4081, DOI 10.1143/ptp/84.1.142, lire en ligne, consulté le 10 février 2022)

• Portail de la physique