Moment d'un vecteur

Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur, le moment par rapport à un axe est un scalaire. Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires, ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.

Définitions

• Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) ${\displaystyle {\vec {V}}}$ (de position M) par rapport à un point O est un pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :

  ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}}$.

• Le moment d'un vecteur vrai ${\displaystyle {\vec {V}}}$ (de position M) par rapport à un axe orienté Δ (de vecteur unitaire ${\displaystyle {\hat {u}}}$) est un pseudoscalaire défini comme la projection de ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})}$ sur l'axe, où O est un point quelconque de l'axe^[a] :

  ${\displaystyle M_{\Delta }({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})}$.

• Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial) ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{V}}}$ (de position M) se définit de la même façon, par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté :

  ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\overset {\hookrightarrow }{V}}}$ (c'est un vecteur vrai),

  ${\displaystyle M_{\Delta }({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\hat {u}}\cdot {\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})}$ (c'est un scalaire vrai).

Exemples

• Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :

  ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{L_{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {p}}}$.

• Le moment d'une force (${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{\Gamma _{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {F}}}$) intervient dans le théorème du moment cinétique.
• Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur 1/2 près, l'intégrale du moment de l'élément de courant ${\displaystyle I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}$ :

  ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{\mu }}={\frac {1}{2}}\oint {\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}$.

• Le champ magnétique produit par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant ${\displaystyle I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}$ divisé par le cube de la distance (loi de Biot et Savart) :

  ${\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {{\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}{r^{3}}}}$.

Notes et références

1. Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :

   ${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot \left({\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})\right)={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}\wedge {\vec {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}\right)={\hat {u}}\cdot \left[\left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\right)\wedge {\vec {V}}\right]={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}\wedge {\vec {V}}\right)=0}$

   puisque les vecteurs ${\displaystyle {\hat {u}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}}$ sont colinéaires (une des propriétés du produit mixte).

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