Moyenne de Heinz

En mathématiques, la moyenne de Heinz, portant le nom du mathématicien allemand E. Heinz^[1], de deux nombres réels strictement positifs ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, est définie par la formule^[2] :

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(a,b)={\frac {a^{x}b^{1-x}+a^{1-x}b^{x}}{2}},}$

pour ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1/2}$.

Pour ${\displaystyle x}$ variant de ${\displaystyle 0}$ à ${\displaystyle 1/2}$ la moyenne de Heinz constitue une formule d'interpolation continue et décroissante entre les moyennes arithmétique et géométrique ; plus précisément, pour ${\displaystyle 0<x<x'<1/2}$, on a :

${\displaystyle {\sqrt {ab}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(a,b)<\operatorname {H} _{x'}(a,b)<\operatorname {H} _{x}(a,b)<\operatorname {H} _{0}(a,b)={\frac {a+b}{2}}.}$

Cette moyenne peut aussi être définie de façon similaire pour les matrices semi-définies positives et constitue alors une formule d'interpolation similaire à celle ci-dessus.

Propriétés

Composition

Pour deux nombres x et y, la composée :

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(\operatorname {H} _{y}(a,b),\operatorname {H} _{y}(a,b))}$

est aussi une moyenne de Heinz^[3].

Voir aussi

• Moyenne
• Inégalité de Muirhead
• Inégalité arithmético-géométrique

Références

1. (de) Erhard Heinz, « Beiträge zur Störungstheorie der Spektralzerlegung », Mathematische Annalen, vol. 123,‎ 1951, p. 415–438.
2. (en) R. Bhatia, « Interpolating the arithmetic-geometric mean inequality and its operator version », Linear Algebra and Its Applications, vol. 413, n^os 2–3,‎ 2006, p. 355–363
3. (en) Ádám Besenyei, « On the invariance equation for Heinz means », Mathematical Inequalities and Applications, vol. 15, n^o 4,‎ octobre 2012, p. 973-979 (DOI 10.7153/mia-15-83, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Heinz mean » (voir la liste des auteurs).

• Portail de l'analyse