Un multivecteur est le résultat d'un produit défini pour les éléments d'un espace vectoriel V. Un espace vectoriel muni d'une opération linéaire de produit entre ses éléments est une algèbre; on peut compter parmi les exemples d'algèbres sur un corps celles des matrices et des vecteurs.[1],[2],[3]. L'algèbre des multivecteurs est construite grâce au produit extérieur ∧ et est liée à l’algèbre extérieure des formes différentielles[4].
L'ensemble des multivecteurs d'un espace vectoriel V est gradué par le nombre de vecteurs de la base de V qui forment un multivecteur de l’ensemble. Un multivecteur produit de p vecteurs de base est appelé multivecteur de grade p, ou p-vecteur. La combinaison linéaire de p-vecteurs de base forme un espace vectoriel noté Λp(V). Le grade maximal d'un multivecteur est la dimension de V.
Le produit d'un p-vecteur et d'un k-vecteur est un (k + p)-vecteur, l'ensemble des combinaisons linéaires de tous les multivecteurs sur V est une algèbre associative et close par le produit extérieur. Cette algèbre, notée Λ(V), est appelée l'algèbre extérieure de V[5].
Soit ℝn l'espace euclidien, muni de sa base orthonormée canonique[pourquoi ?]
Si l'on se donne m vecteurs , on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :
Si l'on note , alors l'espace des m-vecteurs sur ℝn, noté usuellement Λmℝn, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :
Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de ℝn. Par exemple sur ℝ4, c'est le cas de mais pas de .
Cet espace est muni d'une base canonique qui est
donc sa dimension est le coefficient binomial .
De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.
Si m = n, alors
L'idée géométrique sous-jacente aux multivecteurs est de représenter un sous-espace vectoriel P de dimension m, dont l'expression en donnerait la base orientée.[incompréhensible]
Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur est un multiple positif de v.
Si est une base orthonormée, alors
si et seulement si ces vecteurs sont liés.