Méthode de Runge–Kutta pour les EDS

En mathématiques des systèmes stochastiques, la méthode Runge – Kutta est une technique de résolution numérique approchée d'une équation différentielle stochastique. Il s'agit d'une généralisation de la méthode de Runge – Kutta pour les équations différentielles ordinaires aux équations différentielles stochastiques (EDS). Point fort de la méthode, il n'est pas nécessaire de connaître les dérivées des fonctions de coefficients dans les EDS.

Schéma le plus basique

Considérons la diffusion Itō ${\displaystyle X}$ satisfaisant l'équation différentielle stochastique Itō suivante

${\displaystyle {{d}X_{t}}=a(X_{t})\,{d}t+b(X_{t})\,{d}W_{t},}$

avec comme condition initiale ${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$, où ${\displaystyle W_{t}}$ représente un processus de Wiener, et supposons que nous souhaitons résoudre cette EDS sur un certain intervalle de temps ${\displaystyle [0,T]}$ . Alors, l' approximation Runge – Kutta de la vraie solution ${\displaystyle X}$ est la chaîne de Markov ${\displaystyle Y}$ défini comme suit^[1]:

• découper l'intervalle ${\displaystyle [0,T]}$ dans ${\displaystyle N}$ sous-intervalles de largeur ${\displaystyle \delta =T/N>0}$ :

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T;}$

• soit ${\displaystyle Y_{0}:=x_{0}}$ ;
• calculer récursivement ${\displaystyle Y_{n}}$ pour ${\displaystyle 1\leq n\leq N}$ par

${\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}\left(b({\hat {\Upsilon }}_{n})-b(Y_{n})\right)\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right)\delta ^{-1/2},}$

où ${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$ et ${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{n}=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\delta ^{1/2}.}$ Les variables aléatoires ${\displaystyle \Delta W_{n}}$ sont des variables aléatoires normales indépendantes et distribuées de manière identique avec une espérance nulle et une variance ${\displaystyle \delta }$ .

Ce schéma a un ordre fort 1, ce qui signifie que l'erreur d'approximation de la solution réelle avec une échelle de temps fixe est proportionnelle au pas de temps ${\displaystyle \delta }$ . Il y a également un ordre faible 1, ce qui signifie que l'erreur sur les statistiques de la solution évolue avec le pas de temps ${\displaystyle \delta }$ . Voir les références pour des déclarations complètes et exactes.

Les fonctions ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ peut varier dans le temps sans aucun problème. La méthode peut être généralisée au cas de plusieurs équations couplées ; le principe est le même mais les équations s'allongent.

La méthode d'Euler améliorée est flexible

Un nouveau schéma Runge-Kutta également d'ordre fort 1 se réduit directement au schéma Euler amélioré pour les ODE déterministes^[2]. Considérons le processus stochastique vectoriel ${\displaystyle {\vec {X}}(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ qui satisfait une EDS îto :

${\displaystyle d{\vec {X}}={\vec {a}}(t,{\vec {X}})\,dt+{\vec {b}}(t,{\vec {X}})\,dW,}$

où ${\displaystyle {\vec {a}}}$ est la dérive et ${\displaystyle {\vec {b}}}$ la diffusion, sont des fonctions suffisamment lisses. Compte tenu du pas de temps ${\displaystyle h}$, et étant donné que ${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k})={\vec {X}}_{k}}$, on estime ${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k+1})}$ par ${\displaystyle {\vec {X}}_{k+1}}$ pour le temps ${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+h}$ via

${\displaystyle {\begin{array}{rl}&{\vec {K}}_{1}=h{\vec {a}}(t_{k},{\vec {X}}_{k})+(\Delta W_{k}-S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k},{\vec {X}}_{k}),\\&{\vec {K}}_{2}=h{\vec {a}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1})+(\Delta W_{k}+S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1}),\\&{\vec {X}}_{k+1}={\vec {X}}_{k}+{\frac {1}{2}}({\vec {K}}_{1}+{\vec {K}}_{2}),\end{array}}}$

• où ${\displaystyle \Delta W_{k}={\sqrt {h}}Z_{k}}$ avec ${\displaystyle Z_{k}}$ la loi normale centrée réduite ${\displaystyle Z_{k}\sim N(0,1)}$ ;
• et où ${\displaystyle S_{k}=\pm 1}$, chaque valeur étant choisie avec probabilité ${\displaystyle 1/2}$ .

Ce qui précède décrit un seul pas de temps. Il faut répéter ce processus afin d'intégrer la EDS sur tout l'intervalle de temps.

Schémas Runge-Kutta d'ordre supérieur

Des schémas d'ordre supérieur existent également, mais deviennent de plus en plus complexes. Rößler a développé de nombreuses solutions pour les EDS de type Ito^[3],[4], tandis que Komori a développé des solutions pour les EDS de Stratonovich^[5],[6],[7]. Rackauckas a étendu ces schémas pour permettre un pas de temps adaptatif via l'échantillonnage de rejet avec mémoire (RSwM), ce qui entraîne des augmentations de l'efficacité de plusieurs ordres de grandeur dans des modèles biologiques^[8] , ainsi qu'une optimisation des coefficients pour une stabilité améliorée.

Notes et références

1. P. E. Kloeden and E. Platen. Numerical solution of stochastic differential equations, volume 23 of Applications of Mathematics. Springer--Verlag, 1992.
2. A. J. Roberts. Modify the improved Euler scheme to integrate stochastic differential equations., Oct 2012.
3. Rößler, « Second Order Runge–Kutta Methods for Itô Stochastic Differential Equations », SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 47, n^o 3,‎ 2009, p. 1713–1738 (DOI 10.1137/060673308)
4. Rößler, « Runge–Kutta Methods for the Strong Approximation of Solutions of Stochastic Differential Equations », SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 48, n^o 3,‎ 2010, p. 922–952 (DOI 10.1137/09076636X)
5. Komori, « Multi-colored rooted tree analysis of the weak order conditions of a stochastic Runge–Kutta family », Applied Numerical Mathematics, vol. 57, n^o 2,‎ 2007, p. 147–165 (DOI 10.1016/j.apnum.2006.02.002, lire en ligne)
6. Komori, « Weak order stochastic Runge–Kutta methods for commutative stochastic differential equations », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 203,‎ 2007, p. 57–79 (DOI 10.1016/j.cam.2006.03.010)
7. Komori, « Weak second-order stochastic Runge–Kutta methods for non-commutative stochastic differential equations », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 206,‎ 2007, p. 158–173 (DOI 10.1016/j.cam.2006.06.006)
8. Rackauckas et Nie, « ADAPTIVE METHODS FOR STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS VIA NATURAL EMBEDDINGS AND REJECTION SAMPLING WITH MEMORY », Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, vol. 22, n^o 7,‎ 2017, p. 2731–2761 (DOI 10.3934/dcdsb.2017133)

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