Nombre chanceux d'Euler

En mathématiques, un nombre chanceux d'Euler est un entier naturel p > 1 tel que :

${\displaystyle P_{p}(n)=n^{2}+n+p}$ est un nombre premier pour tout ${\displaystyle n=0,1,...,p-2}$^[1].

Formulation équivalente^[2], parfois rencontrée :

${\displaystyle Q_{p}(n)=n^{2}-n+p}$ est un nombre premier pour tout ${\displaystyle n=1,...,p-1}$^[3] ou encore^[4] pour tout ${\displaystyle n=0,1,...,p-1}$.

Liste des nombres chanceux d'Euler

Leonhard Euler a identifié six nombres chanceux :

${\displaystyle p=2,3,5,11,17,41}$^[5]

et leur dénomination nombre chanceux d'Euler a été proposée par François Le Lionnais^[6].

En fait il n'en existe aucun autre, comme cela a été démontré en 1952. Ce résultat s'appuie sur un théorème de Rabinowitch^[7],[8] qui affirme qu'un entier p > 1 est chanceux si et seulement si 4p – 1 (l'opposé du discriminant du polynôme quadratique P_p) est un nombre de Heegner. Or la liste des nombres de Heegner s'est avérée réduite aux neuf nombres 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163, dont les trois premiers ne sont pas de la forme 4p – 1 avec p > 1.

p (nombre chanceux d'Euler)	4p - 1 (nombre de Heegner correspondant)
2	7
3	11
5	19
11	43
17	67
41	163

Cas particulier de 41

Le plus grand nombre chanceux d'Euler est donc p = 41. Les 40 nombres premiers P₄₁(n) pour n = 0, 1, … ,39 sont : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, …, 1447, 1523, 1601. Le polynôme n² + n + 41 a d’ailleurs la particularité de fournir de nombreux nombres premiers pour n > 41, et il n'existe pas d'autre polynôme de la forme n² + an + b, avec des coefficients a et b entiers positifs et inférieurs à 10 000, qui produise une plus longue suite de nombres premiers^[9].

Exemple : 11 est un nombre chanceux d'Euler

Soit ${\displaystyle p=11}$. Testons si ${\displaystyle P_{11}(n)=n^{2}+n+11}$ est premier pour tous les nombres ${\displaystyle n=0,1,...,9}$ :

${\displaystyle n=0}$ : ${\displaystyle P_{11}(0)=0^{2}+0+11=11}$ qui est premier.

${\displaystyle n=1}$ : ${\displaystyle P_{11}(1)=1^{2}+1+11=13}$ qui est premier.

${\displaystyle n=2}$ : ${\displaystyle P_{11}(2)=2^{2}+2+11=17}$ qui est premier.

${\displaystyle n=3}$ : ${\displaystyle P_{11}(3)=3^{2}+3+11=23}$ qui est premier.

${\displaystyle n=4}$ : ${\displaystyle P_{11}(4)=4^{2}+4+11=31}$ qui est premier.

${\displaystyle n=5}$ : ${\displaystyle P_{11}(5)=5^{2}+5+11=41}$ qui est premier.

${\displaystyle n=6}$ : ${\displaystyle P_{11}(6)=6^{2}+6+11=53}$ qui est premier.

${\displaystyle n=7}$ : ${\displaystyle P_{11}(7)=7^{2}+7+11=67}$ qui est premier.

${\displaystyle n=8}$ : ${\displaystyle P_{11}(8)=8^{2}+8+11=83}$ qui est premier.

${\displaystyle n=9}$ : ${\displaystyle P_{11}(9)=9^{2}+9+11=101}$ qui est premier.

On a vérifié que les 10 nombres ${\displaystyle P_{11}(n)}$ sont bien premiers donc 11 est un nombre chanceux d'Euler.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucky numbers of Euler » (voir la liste des auteurs).

1. n = p – 1 est exclu d'office puisque P_p(p – 1) = p².
2. Q_p(n) = P_p(n – 1).
3. (en) Eric W. Weisstein, « Lucky Number of Euler », sur MathWorld.
4. Q_p(0) = Q_p(1).
5. suite A014556 de l'OEIS.
6. François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Paris, Hermann, 1983, p. 88 et 144.
7. (de) G. Rabinowitch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern », dans Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge), vol. 1, 1913 (lire en ligne), p. 418-421.
8. (de) Georg Rabinowitsch, « Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 142,‎ 1913, p. 153-164 (lire en ligne).
9. Gérard Villemin, « Nombres – Curiosités, théorie et usages ».

Article connexe

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