En mathématiques, un nombre d'Eisenstein premier ou nombre premier d'Eisenstein est un élément a + bω irréductible (ou de manière équivalente premier[1]) de l'anneau des entiers d'Eisenstein : ce n'est pas l'une des six unités (±1, ±ω, ±ω2) et ses seuls diviseurs dans l'anneau sont les unités et les produits de a + bω par une unité.
les entiers d'Eisenstein dont la norme (le module au carré) est un nombre premier usuel (qui est alors nécessairement égal à 3 ou congru à 1 modulo 3).
Réciproquement, l'entier 3 et les nombres premiers usuels congrus à 1 modulo 3 sont tous des normes de nombres d'Eisenstein (premiers).
Démonstration directe
D'après les propriétés générales de la norme sur un anneau d'entiers quadratiques, les nombres d'Eisenstein premiers s'obtiennent en décomposant dans ℤ[ω] les nombres premiers usuels, et pour un tel entier naturel premier p, il n'y a que deux possibilités :
ou bien p reste irréductible dans ℤ[ω],
ou bien p = N(π) pour un certain élément π de ℤ[ω], qui est alors irréductible.
Il reste à vérifier que ces deux cas correspondent aux congruences annoncées.
Si p ≡ –1 mod 3, on est dans le premier cas. En effet, toute norme d'un élément π = a + bω de ℤ[ω] est un carré mod 3, puisque 4N(π) = (2a – b)2 + 3b2.
Si p ≡ 1 mod 3, on est dans le second. En effet, un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique montre que –3 est un carré mod p, c'est-à-dire qu'il existe un entier x tel que p divise x2 + 3. Dans ℤ[ω], p ne peut donc pas être irréductible, sinon, divisant x2 + 3 = (x + i√3)(x – i√3), il diviserait l'un des facteurs, ce qui est impossible car les nombres (x + i√3)/p = (x + 1)/p + (2/p)ω et son conjugué ne sont pas dans l'anneau (2 n'est pas divisible par p).
Les dix plus petits nombres premiers (usuels) congrus à 2 modulo 3 sont 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53 et 59[2]. Depuis 2007, le plus grand connu est 19 249 × 213 018 586 + 1, découvert par Konstantin Agafonov[3]. C'est actuellement (en ) le onzième plus grand nombre premier connu[4].
À conjugaison près et produit près par les six unités, les seuls nombres d'Eisenstein premiers de module inférieur à 7 sont, outre 2 et 5 : 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + 3ω et 7 + ω (de normes respectives 3, 7, 13, 19, 31, 37 et 43). Les nombres d'Eisenstein de norme 3 ont ceci de remarquable que chacun est produit de son conjugué par une unité : 3 = (2 + ω)(2 + ω) = –(2 + ω)2.