Nombre de Giuga

En mathématiques, un nombre de Giuga est^[1] un entier naturel ${\displaystyle n}$ composé qui satisfait à la congruence

${\displaystyle \sum _{j=1}^{j=n-1}j^{n-1}\equiv -1{\pmod {n}}.}$

D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).

Caractérisation des nombres de Giuga

Un nombre ${\displaystyle n}$ est un nombre de Giuga si et seulement si^[1]

• il est composé
• ${\displaystyle p^{2}(p-1)|n-p}$ pour tout facteur premier ${\displaystyle p}$ de ${\displaystyle n}$.

Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga

La fonction ${\displaystyle G}$ qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à ${\displaystyle x}$ a été étudiée et Tipu^[2] a montré que ${\displaystyle G(x)=O(x^{1/2}\ln x)}$.

Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski^[1] :

${\displaystyle G(x)=O\left({\frac {x^{1/2}}{\ln ^{2}x}}\right).}$

Nombres faiblement de Giuga

Certains auteurs^[3],[4] appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski^[1] préfèrent nommer weak Giuga numbers. Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : p² | n – p pour tout facteur premier p de n. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : suite A007850 de l'OEIS. Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an + 1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique^[5].

Références

1. (en) Florian Luca, Carl Pomerance et Igor Shparlinski, « On Giuga Numbers », International Journal of Modern Mathematics, vol. 4, n^o 1,‎ 2009, p. 13–18 (lire en ligne)
2. (en) Vicentiu Tipu, « A note on Giuga's conjecture », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 50,‎ 2007, p. 158-160.
3. (en) Eric W. Weisstein, « Giuga number », sur MathWorld.
4. (en) David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 [lire en ligne].
5. « 1103.2298 », texte en accès libre, sur arXiv.

• Arithmétique et théorie des nombres