Nombre de Leyland

En théorie des nombres, les « nombres de Leyland^[1] » sont définis dans l'OEIS comme les entiers de la forme x^y + y^x, où x et y sont des entiers strictement supérieurs à 1. La qualification "strictement" est essentielle : sans elle tout entier supérieur ou égal à 2 serait un nombre de Leyland car de la forme x¹ + 1^x.

Cette suite d'entiers est la suite  A076980 de l'OEIS : 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, etc. et la sous-suite des nombres de Leyland premiers est la suite  A094133.

Cette formule a été proposée par Paul Leyland^[2] comme un bon générateur pour tester des programmes généralistes de preuve de primalité, parce que ces nombres ne semblent présenter aucune propriété particulière que des programmes spécifiques pourraient exploiter^[3].

En décembre 2012, le plus grand nombre de Leyland premier connu était 8 656^{2 929} + 2 929^{8 656} (30 008 chiffres).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Leyland number » (voir la liste des auteurs).

1. Le seul ouvrage les mentionnant — sans préciser de conditions sur x et y — est (en) Richard Crandall et Carl Pomerance, Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer, 2005, p. 374, à propos de 2 638^{4 405} + 4 405^{2 638}, nombre à 15 071 chiffres dont la primalité venait d'être démontrée en juillet 2004.
2. (en) Paul Leyland's home page.
3. Leyland, Primes of the form….

Lien externe

• (en) P. Leyland, « Primes of the form x^y + y^x »

• Arithmétique et théorie des nombres