Nombre de Lucas-Carmichael

En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.

Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car n³ + 1 = (n + 1)(n² − n + 1) est toujours divisible par n + 1).

Exemple

399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.

Propriétés

Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.

On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.

Liste

Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :

399 = 3 × 7 × 19 935 = 5 × 11 × 17 2 015 = 5 × 13 × 31 2 915 = 5 × 11 × 53 4 991 = 7 × 23 × 31 5 719 = 7 × 19 × 43 7 055 = 5 × 17 × 83 8 855 = 5 × 7 × 11 × 23 12 719 = 7 × 23 × 79 18 095 = 5 × 7 × 11 × 47 20 705 = 5 × 41 × 101 20 999 = 11 × 23 × 83 22 847 = 11 × 31 × 67 29 315 = 5 × 11 × 13 × 41 31 535 = 5 × 7 × 17 × 53 46 079 = 11 × 59 × 71 51 359 = 7 × 11 × 23 × 291 60 059 = 19 × 29 × 109 63 503 = 11 × 23 × 251 67 199 = 11 × 41 × 149 73 535 = 5 × 7 × 11 × 191 76 751 = 23 × 47 × 71 80 189 = 17 × 53 × 89

81 719 = 11 × 17 × 19 × 23 88 559 = 19 × 59 × 79 90 287 = 17 × 47 × 113 104 663 = 13 × 83 × 97 117 215 = 5 × 7 × 17 × 197 120 581 = 17 × 41 × 173 147 455 = 5 × 7 × 11 × 383 152 279 = 29 × 59 × 89 155 819 = 19 × 59 × 139 162 687 = 3 × 7 × 61 × 127 191 807 = 7 × 11 × 47 × 53 194 327 = 7 × 17 × 23 × 71 196 559 = 11 × 107 × 167 214 199 = 23 × 67 × 139 218 735 = 5 × 11 × 41 × 97 230 159 = 47 × 59 × 83 265 895 = 5 × 7 × 71 × 107 357 599 = 11 × 19 × 29 × 59 388 079 = 23 × 47 × 359 390 335 = 5 × 11 × 47 × 151 482 143 = 31 × 103 × 151 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43 653 939 = 11 × 13 × 17 × 269

663 679 = 31 × 79 × 271 676 799 = 19 × 179 × 199 709 019 = 17 × 179 × 233 741 311 = 53 × 71 × 197 760 655 = 5 × 7 × 103 × 211 761 039 = 17 × 89 × 503 776 567 = 11 × 227 × 311 798 215 = 5 × 11 × 23 × 631 880 319 = 11 × 191 × 419 895 679 = 17 × 19 × 47 × 59 913 031 = 7 × 23 × 53 × 107 966 239 = 31 × 71 × 439 966 779 = 11 × 179 × 491 973 559 = 29 × 59 × 569 1 010 735 = 5 × 11 × 17 × 23 × 47 1 017 359 = 7 × 23 × 71 × 89 1 097 459 = 11 × 19 × 59 × 89 1 162 349 = 29 × 149 × 269 1 241 099 = 19 × 83 × 787 1 256 759 = 7 × 17 × 59 × 179 1 525 499 = 53 × 107 × 269 1 554 119 = 7 × 53 × 59 × 71 1 584 599 = 37 × 113 × 379

1 587 599 = 13 × 97 × 1259 1 659 119 = 7 × 11 × 29 × 743 1 707 839 = 7 × 29 × 47 × 179 1 710 863 = 7 × 11 × 17 × 1307 1 719 119 = 47 × 79 × 463 1 811 687 = 23 × 227 × 347 1 901 735 = 5 × 11 × 71 × 487 1 915 199 = 11 × 13 × 59 × 227 1 965 599 = 79 × 139 × 179 2 048 255 = 5 × 11 × 167 × 223 2 055 095 = 5 × 7 × 71 × 827 2 150 819 = 11 × 19 × 41 × 251 2 193 119 = 17 × 23 × 71 × 79 2 249 999 = 19 × 79 × 1499 2 276 351 = 7 × 11 × 17 × 37 × 47 2 416 679 = 23 × 179 × 587 2 581 319 = 13 × 29 × 41 × 167 2 647 679 = 31 × 223 × 383 2 756 159 = 7 × 17 × 19 × 23 × 53 2 924 099 = 29 × 59 × 1709 3 106 799 = 29 × 149 × 719 3 228 119 = 19 × 23 × 83 × 89 3 235 967 = 7 × 17 × 71 × 383.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lucas-Carmichael number » (voir la liste des auteurs), dont une « référence » était (en) « Lucas-Carmichael number », sur PlanetMath.

1. (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, Springer Science & Business Media, 2004 (lire en ligne), p. 108.

• Arithmétique et théorie des nombres