Nombre de Münchhausen

Le baron de Münchhausen, qui s'élève avec son cheval en tirant sur sa propre queue de cochon.

On appelle en anglais « perfect digit-to-digit invariant » (PDDI)^[1], relativement à une base de numération donnée b, un entier naturel qui est égal à la somme de ses chiffres dans cette base b, chacun élevé à la puissance de ce même chiffre (en convenant ici que 0⁰ = 0).

${\displaystyle n=d_{k}b^{k}+d_{k-1}b^{k-1}+\ldots +d_{1}b+d_{0}=d_{k}^{d_{k}}+d_{k-1}^{d_{k-1}}+\dots +d_{1}^{d_{1}}+d_{0}^{d_{0}}~.}$

Un calcul élémentaire^[2] prouve que n est majoré par 2b^b ; dans une base donnée, il n'existe donc qu'un nombre fini de perfect digit-to-digit invariants, dont on peut programmer le calcul.

Zéro et un sont des perfect digit-to-digit invariants dans toutes les bases.

En base dix, les deux seuls autres perfect digit-to-digit invariants^[3] sont 3 435 et 438 579 088 :

• ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$
• ${\displaystyle 4^{4}+3^{3}+8^{8}+5^{5}+7^{7}+9^{9}+0^{0}+8^{8}+8^{8}=256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088}$

Dans une prépublication de style récréatif^[4], Daan van Berkel^[2] a appelé « nombres de Münchhausen » (Munchausen numbers^[5]) des nombres définis comme les perfect digit-to-digit invariants^[6], mais avec la convention 0⁰ = 1. Avec cette convention, les deux seuls nombres de Münchhausen en base 10 sont 1 et 3435.

La dénomination « nombres de Münchhausen » a été choisie en référence au baron du même nom, leur propriété étant une variante de celle des nombres narcissiques, à l'instar du caractère du baron^[2].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect digit-to-digit invariant » (voir la liste des auteurs).

1. Pour la terminologie, voir une page du mathématicien amateur Harvey Heinz, qui renvoie à David Wells, Curious and Interesting Numbers, p.190, et à D. Morrow, dans Journal of Recreational Mathematics 27:1, 1995, p. 9 et 27:3, 1995, pp. 205-207. Ces nombres sont décrits, mais non nommés, sur The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, avec références à J. S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, Dover N.Y., pp. 163-175 ; C. A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley 1995, ch. 22, pp. 169-171; David Wells, Curious and Interesting Numbers, Penguin, 1988, pp. 169, 190
2. Daan van Berkel, « On a curious property of 3435 », 2009, « 0911.3038 », texte en accès libre, sur arXiv.
3. suite A046253 de l'OEIS
4. D. van Berkel s'intéresse au nombre 3435 en invoquant le paradoxe des nombres intéressants.
5. La déformation orthographique de « Münchhausen » en « Munchausen » avec un seul « h » et sans Umlaut est calquée sur celle du film de Terry Gilliam, The Adventures of Baron Munchausen (1988).
6. suite A166623 de l'OEIS

• Arithmétique et théorie des nombres