Nombre ennéagonal

Cinquième nombre ennéagonal : ${\displaystyle D_{5}={\color {red}1}+{\color {orange}8}+{\color {green}15}+{\color {blue}22}+{\color {pink}29}=75}$

En mathématiques, un nombre ennéagonal (ou nombre nonagonal) est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par un ennéagone. Pour tout entier n ≥ 1, le nombre ennéagonal d'ordre ${\displaystyle n}$ est donné par la formule ^[1],[2] :

${\displaystyle P_{9,n}={n(7n-5) \over 2}}$.

Les dix premiers nombres ennéagonaux sont : 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261 et 325 (pour les 10 000 premiers, voir la suite A001106 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Avec ${\displaystyle n}$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 9-1}$ points sur les sommets et ${\displaystyle (9-2)(n-2)}$ points à l'intérieur des côtés, d'où ${\displaystyle P_{9,n}-P_{9,n-1}=8+7(n-2)=7(n-1)+1}$.

Donc ${\displaystyle P_{9,n}=\sum _{k=1}^{n}(7(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(7k+1)=7n(n-1)/2+n={n(7n-5) \over 2}}$.

Propriétés

• ${\displaystyle P_{9,n}}$ s'obtient en ajoutant le carré de ${\displaystyle n}$ aux cinq demis du ${\displaystyle (n-1)}$-ème nombre oblong, autrement dit, ${\displaystyle P_{9,n}=n^{2}+{\frac {5}{2}}n(n-1)}$ .

• La parité des nombres ennéagonaux suit le motif impair-impair-pair-pair.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 9 nombres ennéagonaux.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nonagonal number » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)
2. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 6

Voir aussi

• Nombre ennéagonal centré
• (en) Eric W. Weisstein, « Nonagonal Number », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres