Nombre hexagonal centré

En mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de 6 points, 12 points, 18 points, etc.

Représentation du 4-ième nombre hexagonal centré

Les quatre plus petits nombres hexagonaux centrés sont : ${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{6,1}={\color {red}1},\\&C_{6,2}=1+{\color {orange}6}=7,\\&C_{6,3}=7+{\color {green}12}=19,\\&C_{6,4}=19+{\color {blue}18}=37.\end{aligned}}}$

Gnomon, relation de récurrence

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième hexagone centré a un point central et n – 1 couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième hexagone centré comporte 6(n – 1) points ; c'est le gnomon faisant passer du (n – 1)-ième hexagone centré au n-ième :

${\displaystyle \forall \ n\geq 2,\ C_{6,n}=C_{6,n-1}+6(n-1).}$

Le n-ième nombre hexagonal centré s'obtient donc en ajoutant 1 au produit par 6 du (n – 1)-ième nombre triangulaire :

${\displaystyle C_{6,n}=1+6T_{n-1}=1+3n(n-1)=3n^{2}-3n+1.}$

Pour n = 1, cette expression est valable aussi :

C_6,1 = 3×1² − 3×1 + 1 = 1.

Exemple

Représentation à la fois du 5-ième nombre hexagonal centré et des six 4-ièmes nombres triangulaires autour de son centre

Le 5-ième nombre hexagonal centré est 1 plus 6 fois le 4-ième nombre triangulaire : ${\displaystyle {\begin{aligned}C_{6,5}&={\color {red}1}+{\color {orange}6}+{\color {green}12}+{\color {blue}18}+{\color {purple}24}\\&={\color {red}1}+6({\color {orange}1}+{\color {green}2}+{\color {blue}3}+{\color {purple}4})\\&={\color {red}1}+6T_{4}\\&={\color {red}1}+6\!\!\times \!\!10\\&=61.\end{aligned}}}$

Applications pratiques

Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

Liste de nombres hexagonaux centrés, propriété de congruence

Les nombres hexagonaux centrés inférieurs à 1 000 sont :

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 (voir la suite A003215 de l'OEIS).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit^[1] le motif palindromique 1-7-9-7-1 ; les nombres hexagonaux centrés sont donc tous impairs.

Liens avec d'autres nombres figurés

Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des nombres triangulaires ou des nombres carrés, ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les équations de Pell-Fermat associées.

Nombre hexagonal centré triangulaire

${\displaystyle C_{6,n}=T_{m}\Longleftrightarrow (2m+1)^{2}-6(2n-1)^{2}=3.}$

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont alors^[2] :

C_6,1 = 1 = T₁ ; C_6,6 = 91 = T₁₃ ; C_6,55 = 8 911 = T₁₃₃ ; C_6,540 = 873 181 = T₁₃₂₁.

Pour les suivants, voir :

C_{6, A087125+1} =  A006244 = T_A031138.

(Pour la suite des nombres triangulaires, voir  A000217.)

Nombre hexagonal centré carré

${\displaystyle C_{6,n}=m^{2}\Longleftrightarrow (2m)^{2}-3(2n-1)^{2}=1.}$

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont alors^[2] :

C_6,1 = 1 = 1² ; C_6,8 = 169 = 13² ; C_6,105 = 32 761 = 181² ; C_6,1456 = 6 355 441 = 2 521².

Pour les suivants, voir :

C_{6, A001921+1} =  A006051 =  A001570².

(Pour la suite des nombres carrés, voir  A000290.)

Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrés

• 1 est le seul^[2] nombre à la fois hexagonal centré et carré triangulaire.
• Pour tout entier n ≥ 1, la différence entre le n-ième nombre carré impair et le n-ième nombre hexagonal centré est le (n – 1)-ième nombre oblong :

(2n – 1)² – [1 + 3n(n – 1)] = n(n – 1).

Autrement dit, le n-ième nombre carré impair est la somme du n-ième nombre hexagonal centré et du double du (n – 1)-ième nombre triangulaire :

(2n – 1)² = C_6,n + 2T_n–1.

Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant n – 1 points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant n points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant 2n – 1 points sur chaque côté).

Somme partielle de nombres hexagonaux centrés : nombre cubique

4-ième nombre hexagonal centré vu comme le gnomon de transition d'un cube de côté 3 points à un cube de côté 4 points

• Pour tout entier n ≥ 1,

${\displaystyle C_{6,n}=3n^{2}-3n+1={\color {dimgray}n^{3}-(n^{3}-3n^{2}+3n-1)}=n^{3}-(n-1)^{3}.}$

Ainsi^[2], pour n ≥ 1, le n-ième nombre hexagonal centré est le gnomon faisant passer du (n − 1)-ième au n-ième nombre cubique (c.-à-d. le nombre de cubes de côté 1 visibles depuis un sommet d'un cube de côté n composé de cubes de côté 1)^[3].

• En particulier^[2],[4], les nombres à la fois hexagonaux centrés et premiers sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, c.-à-d. les nombres premiers cubains de première espèce. On pense^[5] qu'il y en a une infinité.

Les nombres hexagonaux centrés premiers inférieurs à 1 000 sont :

C_6,2 = 7 = p₄ ; C_6,3 = 19 = p₈ ; C_6,4 = 37 = p₁₂ ; C_6,5 = 61 = p₁₈ ; C_6,7 = 127 = p₃₁ ;

C_6,10 = 271 = p₅₈ ; C_6,11 = 331 = p₆₇ ; C_6,12 = 397 = p₇₈ ; C_6,14 = 547 = p₁₀₁ ; C_6,15 = 631 = p₁₁₅ ; C_6,18 = 919 = p₁₅₇.

Pour les suivants, voir :

C_6, A002504 =  A002407 = p_A145203.

(Pour la suite des nombres premiers, voir  A000040.)

• 0³ = 0, donc^[2],[1] la somme des n plus petits nombres hexagonaux centrés est n³. Ainsi^[6], les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes.

Exemples^[1] :

1 = 1³ ; 1 + 7 = 8 = 2³ ; 1 + 7 + 19 = 27 = 3³ ;

1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4³ ;

1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 = 5³ ;

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 = 6³.

Conséquence^[1] :
Pour tout n ≥ 1, la moyenne des n plus petits nombres hexagonaux centrés est le n-ième nombre carré :

${\displaystyle {\frac {C_{6,1}+\cdots +C_{6,n}}{n}}={\color {dimgray}{\frac {n^{3}}{n}}}=n^{2}.}$

Exemples^[1] :

1/1 = 1 = 1² ; 1+7/2 = 4 = 2² ; 1+7+19/3 = 9 = 3² ; 1+7+19+37/4 = 16 = 4² ; 1+7+19+37+61/5 = 25 = 5² ; 1+7+19+37+61+91/6 = 36 = 6².

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered hexagonal number » (voir la liste des auteurs).

1. « nombres géométriques hexagonaux centrés », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le 19 septembre 2023)
2. (en) Eric W. Weisstein, « Hex Number », sur MathWorld
   Attention : plusieurs confusions y sont faites entre les valeurs de n et celles de m.
3. Voir figure sur : Gérard Villemin, « Nombres hexagonaux centrés - Relation avec les cubes géométriques »
4. « type de nombres : nombres premiers cubains », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le 20 septembre 2023)
5. (en) N. J. A. Sloane, « A002407 - Cuban primes: primes which are the difference of two consecutive cubes - OEIS », sur oeis.org (consulté le 22 septembre 2023)
6. (en) Eric W. Weisstein, « Hex Pyramidal Number », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres