Nombre icosaédrique

Anaglyphe d'une construction de ${\displaystyle I_{3}=48}$ ; il y a 12 boules aux sommets, plus 30 boules aux milieux des arêtes, plus 6 boules supplémentaires pour le petit icosaèdre interne.

Un nombre icosaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un icosaèdre régulier. Le nombre icosaédrique d'ordre n, correspondant au cas où il y a n points sur chaque arête de l'icosaèdre, est donné par la formule :

${\displaystyle I_{n}={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}=n\left(5{\binom {n}{2}}+1\right)}$^[1],[2],[3].

Les premiers de ces nombres sont 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, ... ( suite A006564 de l'OEIS).

Obtention du nombre icosaédrique d'ordre n

On obtient ${\displaystyle I_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=12,A=30,F=20}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, ${\displaystyle \{k,d\}=\{3,5\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{k,n}}$ le nombre k-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))={\frac {15n^{2}-25n+12}{2}}}$.

D'où ${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2}}\left(15{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-25{\frac {n(n+1)}{2}}+12n\right)={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}}$.

Références

1. (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 68 (lire en ligne)
2. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 113
3. Charles-É. Jean, « Nombre icosaédrique ou icosaédrique D3 », sur Récréomath

Voir aussi

• Nombre dodécaédrique
• Nombre icosaédrique centré

Références

• Arithmétique et théorie des nombres