Nombre idoine

En mathématiques, les nombres idoines d'Euler (également appelés nombres convenables) sont des entiers naturels définis en 1778 par Leonhard Euler. Ce dernier en a calculé une liste de 65 éléments dont on ne sait pas encore aujourd'hui si elle est complète ou non.

Définitions

La définition donnée par Euler est la suivante^[1] :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si tout entier impair ${\displaystyle q}$ qui peut s'écrire d'une manière unique sous la forme ${\displaystyle q=x^{2}+ny^{2}}$, avec ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ naturels, est premier et si ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle ny}$ sont alors premiers entre eux.

On a trouvé depuis de nombreuses autres caractérisations de ces nombres, dont une liste se trouve dans la page  A000926 de l'OEIS. La plus simple en est la suivante :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si et seulement s'il ne peut pas s'écrire ${\displaystyle ab+bc+ca}$ pour des entiers vérifiant ${\displaystyle 0<a<b<c}$.

Autre définition :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si le groupe de classes ${\displaystyle C(-4n)}$ est isomorphe à ${\displaystyle ({\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}})^{m}}$ pour un entier ${\displaystyle m\geqslant 1}$^[2].

Conjecture de la liste complète

La liste des 65 nombres idoines obtenue par Euler est la suivante :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 et 1848

(suite A000926 de l'OEIS).

Par exemple, 11 n'est pas idoine car il peut s'écrire ${\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 1}$.

Les résultats de Peter J. Weinberger de 1973^[3] impliquent qu'il existe au plus deux autres nombres idoines, et que la liste ci-dessus est complète si l'hypothèse de Riemann généralisée est valable (certaines sources affirment à tort que les résultats de Weinberger impliquent qu'il existe au plus un autre nombre idoine)^[4].

Articles connexes

• Liste des problèmes non résolus en mathématiques
• Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler

Notes

1. André Warusfel, Euler, les mathématiques et la vie, Vuibert, mai 2009, p. 126-127.
2. J.-P. Allouche, « Bizarrement mathématique : quelques propriétés du nombre 65 ».
3. Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124.
4. Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Idoneal number » (voir la liste des auteurs).
• Z.I. Borevich et I.R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, p. 425–430.
• L. Euler, " An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers ", 1806.
• Günther Frei, Les nombres convenables de Leonhard Euler, Publications Université de Besançon, 1983-1984.
• O.H. Keller, Über die "Numeri idonei" von Euler, Beiträge Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rév. 85m:11019].
• G.B. Mathews, Number theory, Chelsea, sans date, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", dans Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA ou, "My Numbers, My Friends", Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY.
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
• Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

Liens externes

• KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei.
• M. Waldschmidt, Open Diophantine problems.
• (en) Eric W. Weisstein, « Idoneal Number », sur MathWorld.

• Portail des mathématiques