Nombre parasite

En mathématiques récréatives, un nombre parasite est un entier naturel qui, lorsqu'il est multiplié par un certain nombre entier n compris entre 2 et 9, voit sa représentation décimale inchangée, excepté pour le chiffre des unités qui est déplacé en début d'écriture. Un tel nombre est dit « n-parasite ».

Exemples

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Pour n de 2 à 9, la table suivante donne les plus petits nombres n-parasites[1], ou « nombres de Dyson »[2] :

N Pn n×Pn
2 105 263 157 894 736 842 210 526 315 789 473 684
3 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793 3 103 448 275 862 068 965 517 241 379
4 102 564 410 256
5 142 857 714 285
6 10 169 491 525 423 728 813 559 932 203 389 830 508 474 576 271 186 440 677 966 61 016 949 152 542 372 881 355 993 220 338 983 050 847 457 627 118 644 067 796
7 1 014 492 753 623 188 405 797 7 101 449 275 362 318 840 579
8 1 012 658 227 848 8 101 265 822 784
9 10 112 359 550 561 797 752 808 988 764 044 943 820 224 719 91 011 235 955 056 179 775 280 898 876 404 494 382 022 471

Recherche

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La méthode suivante permet de trouver un nombre n-parasite. Soit m l'ordre multiplicatif de 10 dans l'anneau ℤ/(10n – 1)ℤ, c’est-à-dire le plus petit entier m > 0 tel que 10m ≡ 1 (mod 10n – 1)). Alors est un nombre n-parasite.

Par exemple, si n = 4, 10n – 1 = 39 et m = 6 ; l'écriture en décimale récurrente de 1/39 est 0,025641... et 106×(1/39) = 25 641,025641... = 25641 + 1/39. On obtient 25 641 = 106×(1/39) – 1/39 = (106 – 1)/39. Le nombre 4×25 641 = 102 564 est 4-parasite.

Cette méthode ne donne pas le plus petit nombre n-parasite pour n = 5 (elle donne 1 020 408 163 265 030 612 244 897 959 183 673 469 387 755 au lieu de 142 857).

Référence

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  1. ↑ Suite A092697 de l'OEIS.
  2. ↑ (en) John Tierney, « Prize for Dyson Puzzle », New York Times, 13 avril 2009.

Bibliographie

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(en) C. A. Pickover, Wonders of Numbers, Oxford University Press, 2003 (ISBN 978-0-19-515799-4), chap. 80, aperçu sur Google Livres