Nombre premier de Ramanujan

En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

Origines et définition

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration^[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

${\displaystyle \forall n,\ \exists N,\ x\geq N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\geq n}$ ;

en particulier :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\dots ~}$ pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... (suite A104272 de l'OEIS) respectivement,

où ${\displaystyle \pi (x)}$ est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :

Le n-ième premier de Ramanujan est l'entier R_n le plus petit à satisfaire la condition :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,~}$ pour tout x ≥ R_n^[2].

Une autre façon de formuler ce résultat est :

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers R_n les plus petits à garantir qu'il y a (au moins) n premiers dans ]x/2, x] pour tout x ≥ R_n.

Puisque R_n est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :

Pour tout entier m fixé, pour tout ${\displaystyle x\in [m,m+1[,~}$ ]x/2, x] contient les mêmes entiers ; donc ${\displaystyle \pi (R_{n}-1)-\pi {\big (}(R_{n}-1)/2{\big )}<n.~}$ Or ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)\geq n,}$ donc ${\displaystyle ]R_{n}/2,R_{n}]}$ doit contenir plus de premiers que ${\displaystyle ](R_{n}-1)/2,R_{n}-1].}$ Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que R_n.

Conséquence : ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)=n.}$

Par exemple, le nombre de nombres premiers dans ]6,5 ; 13] est trois (ce sont 7, 11, 13). Mais 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans ]8 ; 16], il n'y a que deux nombres premiers (ce sont 11, 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans ]x/2, x], donc R₃ = 17.

Liste de nombres premiers de Ramanujan

Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... (suite A104272 de l'OEIS).

Inégalités et équivalences

• Pour tout n ≥ 1,

2n ln(2n) < R_n < 4n ln(4n).

• Pour tout n > 1,

p_2n < R_n < p_3n,

où p_n est le n-ième nombre premier.

• Si n tend vers l'infini, R_n est équivalent au 2n-ième premier, c.-à-d. :

R_n ~ p_2n ;

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

R_n ~ 2n ln(2n).

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"^[3], sauf l'inégalité R_n < p_3n ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.

Notes et références

1. S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
2. Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld
3. J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre premier
• Liste de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres