Nombre premier de Wolstenholme

En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\bmod {p^{4}}}}$.

Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo p³ (théorème de Wolstenholme), à la suite de Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo p² en 1819.

On conjecture qu'il en existe une infinité^[1], bien que^{[2],[3],[4],[5]} les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679 et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que 10¹¹.

Définitions équivalentes

Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont équivalentes^[6],[7] :

• p est un nombre premier de Wolstenholme ;
• ${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2{\bmod {p^{4}}}}$ ;
• p divise le numérateur du nombre de Bernoulli B_p–3 ;
• p > 7 et p divise le numérateur de ${\displaystyle \sum _{p/6<k<p/4}{\tfrac {1}{k^{3}}}}$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wolstenholme prime » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, n^o 4,‎ 1995, p. 381-389 (lire en ligne).
2. (en) Suite  A088164 de l'OEIS.
3. (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Math. Comp., vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2087-2094 (lire en ligne).
4. (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).
5. (en) A. R. Brooker, S. Hathi, M. J. Mossinghoff et T. S. Trudgian, « Wolstenholme and Vandiver primes », The Ramanujan Journal, vol. 58, n^o 3,‎ 2022, p. 913-941 (lire en ligne).
6. (en) Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.
7. (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p² or p³ », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ 1900, p. 321-353 (lire en ligne) .

Article connexe

• Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres