En théorie des nombres récréative, un nombre premier minimal pour une base donnée est un nombre premier pour lequel il n'existe pas de sous-suite plus courte de ses chiffres dans cette base qui forme un nombre premier. En base dix, il y a exactement 26 nombres premiers minimaux :
Par exemple, 409 est un premier minimal, car il n'y a pas de nombre premier parmi ses sous-suites que sont : 4, 0, 9, 40, 49, 09. La sous-suite n'a pas à être constituée de chiffres consécutifs, de sorte que 109 n'est pas un premier minimal, parce que 19 est premier.
Similairement, il y a exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus courte :
Il y a 146 nombres premiers congrus à 1 mod 4 qui n'ont pas de sous-suite plus courte congrue à 1 mod 4 :
Les premiers minimaux peuvent être généralisés à d'autres bases. On peut montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers minimaux dans chaque base.
b | premiers minimaux en base b (écrit en base b, les lettres A, B, C, ... représentent les valeurs 10, 11, 12, ...) | nombre de premiers minimaux en base b |
1 | 11 | 1 |
2 | 10, 11 | 2 |
3 | 2, 10, 111 | 3 |
4 | 2, 3, 11 | 3 |
5 | 2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441 | 8 |
6 | 2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041 | 7 |
7 | 2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111 | 9 |
8 | 2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441 | 15 |
9 | 2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101 | 12 |
10 | 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 | 26 |
11 | 2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A906, 6A966, 90901, 99111, A0111, A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A9099, 6A9909, 909991, 999901, A00009, A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441 | 152 |
12 | 2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001 | 17 |
Les nombres premiers minimaux en base douze écrits en base dix sont répertoriés dans A110600.
Quantité de nombres premiers minimaux (probables) en base n sont
Longueur du plus grand premier minimal (probable) en base n sont
Premier minimal le plus grand (probable) en base n (écrit en base dix) sont
Le nombre de composés minimaux en base de n est
La longueur du plus grand composé minimal en base n est