Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier ${\displaystyle p>2}$ est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme ${\displaystyle X^{p}-1}$ est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat »^[1], dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von ${\displaystyle x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }}$ für eine unendliche Anzahl Primzahlen ${\displaystyle \lambda }$ ».

Définitions

Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$, où ${\displaystyle \zeta _{p}}$ est une racine primitive ${\displaystyle p}$-ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B_k, pour ${\displaystyle k}$ prenant les valeurs paires entre ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle p-3}$.

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier^[2]. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101, etc., les réguliers formant la suite  A007703.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)^[3] assure que pour tout sous-groupe propre ${\displaystyle H}$ du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo ${\displaystyle n}$ n'appartient pas à ${\displaystyle H}$.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte^[4].

Travaux de Kummer

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si ${\displaystyle p}$ est un nombre premier régulier, l'équation ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ n'a pas de solutions pour ${\displaystyle x,\ y}$ et ${\displaystyle z}$ entiers relatifs tous non divisibles par ${\displaystyle p}$. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

${\displaystyle \prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p},}$

dans le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$. Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux ${\displaystyle (x+\zeta _{p}^{i}y)}$ et l'idéal (${\displaystyle z}$) élevé à la puissance ${\displaystyle p}$. On peut montrer que les idéaux ${\displaystyle (x+\zeta _{p}^{i}y)}$ sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance ${\displaystyle p}$-ième d'un certain autre idéal ${\displaystyle A_{i}}$ ; l'idéal ${\displaystyle A_{i}^{p}}$ est principal, l'hypothèse que le nombre ${\displaystyle p}$ est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ — montre alors que l'idéal ${\displaystyle A_{i}}$ lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme ${\displaystyle x+\zeta _{p}^{i}y=\varepsilon \alpha ^{p}}$, pour une certaine unité ${\displaystyle \varepsilon }$. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

Notes et références

1. (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, 1997 [détail de l’édition] (lire en ligne), notes du chapitre 1.
2. 2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.
3. Washington 1997, p. 84.
4. En dépit du titre de l'article de Kummer.

Articles connexes

• Théorème de Herbrand-Ribet
• Théorème de Sophie Germain

• Arithmétique et théorie des nombres