Nombre premier équilibré

En mathématiques, un nombre premier équilibré est un nombre premier qui est égal à la moyenne arithmétique des nombres premiers les plus proches au-dessus et en dessous. Ou, exprimé de manière algébrique, pour un nombre premier donné p_n, où n est son indice dans la suite des nombres premiers, ${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}}$.

Liste de nombres premiers équilibrés

Les 17 plus petits nombres premiers équilibrés sont

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1 103, 1 123 (voir la suite A006562 de l'OEIS).

Par exemple, 53 est le seizième nombre premier ; le quinzième et le dix-septième nombres premiers, 47 et 59, ont pour somme 106, qui a pour moitié 53, ainsi 53 est un nombre premier équilibré. Ou encore : 53 – 47 = 59 – 53 = 6 (on a ce même écart de 6 pour tous les exemples ci-dessus, sauf 5 – 3 = 7 – 5 = 2 et 211 – 199 = 223 – 211 = 12).

Quand 1 était considéré comme un nombre premier, 2 aurait pu correspondre au premier nombre premier équilibré puisque ${\displaystyle 2={(1+3) \over 2}}$.

Propriétés des nombres premiers équilibrés

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers équilibrés.

Trois nombres premiers consécutifs en progression arithmétique sont quelquefois appelés une CPAP-3 (Consecutive Prime Arithmetic Progression). Un nombre premier équilibré est par définition le deuxième nombre premier dans une CPAP-3. En 2014, le plus grand nombre premier équilibré connu est un nombre à 10 546 chiffres. Il a été trouvé par David Broadhurst^[1] :

${\displaystyle p_{n}=1213266377\times 2^{35000}+2429,\quad p_{n}-p_{n-1}=p_{n+1}-p_{n}=2430.}$

La valeur de n n'est pas connue.

Voir aussi

Lorsqu'un nombre premier est plus grand que la moyenne arithmétique de ses deux voisins premiers, il est appelé un nombre premier fort (en). Lorsqu'il est plus petit, il est appelé un nombre premier faible (en).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Balanced prime » (voir la liste des auteurs).

1. (en) The largest known CPAP-3, sur primerecords.dk

• Arithmétique et théorie des nombres