Nombre quasi parfait

En mathématiques, un nombre quasi parfait est un entier n tel que ${\displaystyle \sigma (n)=2n+1\,}$, où ${\displaystyle \sigma \,}$ est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers positifs de n, incluant n. Aucun nombre quasi parfait n'a été trouvé jusqu'à aujourd'hui, mais il a été démontré que, si un nombre quasi parfait existe, alors il est supérieur à 10³⁵ et il a au moins sept diviseurs premiers distincts^[1].

Relations avec d'autres types de nombres

Il existe des entiers n dont la somme de tous les diviseurs σ(n) est égale à 2n + 2 : 20, 104, 464, 650, 1952, 130304, 522752 ... (suite A088831 de l'OEIS). Beaucoup de ces nombres sont de la forme 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 3), où 2ⁿ − 3 est premier (au lieu de 2ⁿ − 1 pour les nombres parfaits).

De plus, il existe des entiers n dont la somme de tous les diviseurs σ(n) est égale à 2n − 1, comme les puissances de 2. On les appelle les nombres presque parfaits.

Les nombres fiancés sont aux nombres quasi parfaits ce que les nombres amicaux sont aux nombres parfaits.

Notes

1. Peter Hagis et Graeme L. Cohen, « Some results concerning quasiperfect numbers », J. Austral. Math. Soc. Ser. A, vol. 33, n^o 2,‎ 1982, p. 275–286 (DOI 10.1017/S1446788700018401, MR 0668448)

Références

• E. Brown, H. Abbott, C. Aull et D. Suryanarayana, « Quasiperfect numbers », Acta Arith., vol. 22, n^o 4,‎ 1973, p. 439–447 (DOI 10.4064/aa-22-4-439-447, MR 0316368, lire en ligne)
• Masao Kishore, « Odd integers N with five distinct prime factors for which 2−10⁻¹² < σ(N)/N < 2+10⁻¹² », Mathematics of Computation, vol. 32, n^o 141,‎ 1978, p. 303–309 (ISSN 0025-5718, DOI 10.2307/2006281, JSTOR 2006281, MR 0485658, zbMATH 0376.10005, lire en ligne)
• Graeme L. Cohen, « On odd perfect numbers (ii), multiperfect numbers and quasiperfect numbers », J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 29, n^o 3,‎ 1980, p. 369–384 (ISSN 0263-6115, DOI 10.1017/S1446788700021376, MR 0569525, zbMATH 0425.10005, lire en ligne)
• James J. Tattersall, Elementary number theory in nine chapters, Cambridge University Press, 1999, 147 (ISBN 0-521-58531-7, zbMATH 0958.11001, lire en ligne )
• Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory, third edition, Springer-Verlag, 2004 (ISBN 0-387-20860-7), p. 74
• Handbook of number theory I, Dordrecht, Springer-Verlag, 2006, 109–110 p. (ISBN 1-4020-4215-9, zbMATH 1151.11300)

Voir aussi

Nombre abondant - Nombre amical - Nombre déficient - Nombre parfait - Nombre premier - Nombre sociable - Nombre presque parfait

• Arithmétique et théorie des nombres