Nombre unitairement parfait

En mathématiques, un nombre unitairement parfait est un entier strictement positif qui est la somme de ses diviseurs unitaires stricts.

Ainsi, 60 n'est pas parfait, parce que ses diviseurs unitaires stricts sont 1, 3, 4, 5, 12, 15 et 20, et que 1+ 2+ +3 + 4 +5 +6 +10 +12 +15 +20 +30= 104.

Les cinq premiers nombres unitairement parfaits sont :

6, 90, 87 360 et 146 361 946 186 458 562 560 000 (suite A002827 de l'OEIS).

Si la décomposition en facteurs premiers d'un entier n est n = p₁^k₁ … p_r^k_r, alors n est unitairement parfait si et seulement si (1 + p₁^k₁) … (1 + p_r^k_r) = 2n. Il n'existe donc pas de nombre unitairement parfait impair.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres unitairement parfaits, ni même s'il en existe d'autres que les cinq ci-dessus.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unitary perfect number » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres