Nombre étrange

Un nombre étrange est, en mathématiques, un entier naturel n qui est abondant mais non semi-parfait : la somme de ses diviseurs propres (y compris 1 mais pas n) est plus grande que n mais aucune somme de certains de ses diviseurs n'est égale à n.

Le plus petit nombre étrange est 70. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 5, 7, 10, 14 et 35. Leur somme vaut 74 mais aucune somme de certains de ses diviseurs ne donne 70.

Il existe une infinité de nombres étranges, car le produit d'un tel nombre avec un nombre premier assez grand est encore étrange. Les huit plus petits sont^[1]: 70, 836, 4 030, 5 830, 7 192, 7 912, 9 272, 10 430. La suite des nombres étranges a une densité asymptotique positive^[2].

En 2012, aucun nombre étrange impair n'a encore été découvert. S'il en existe, ils doivent être plus grands que 2³² ≈ 4 × 10^{9 [3]} et même 1,8 × 10^{19 [1],[4]}.

Stanley Kravitz a démontré que si ${\displaystyle k}$ est un entier strictement positif, si ${\displaystyle Q}$ est un nombre premier et si ${\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}$ est aussi un nombre premier, alors l'entier ${\displaystyle n=2^{k-1}QR}$ est un nombre étrange^[5]. À l'aide de cette formule, il a trouvé le plus grand nombre étrange primitif (non multiple d'un plus petit) connu jusque-là,

${\displaystyle n=2^{56}\,(2^{61}-1)\,153\,722\,867\,280\,912\,929\approx 2\cdot 10^{52}.}$

En 2013, des étudiants de la Central Washington University ont repris son idée et ont trouvé de nouveaux nombres étranges primitifs avec deux fois plus de chiffres^[6]. Aujourd'hui on connait des nombres étranges primitifs avec plus que 2000 chiffres^[7].

Références culturelles

La neuvième piste de l'album Geogaddi par le groupe Boards of Canada porte le titre The Smallest Weird Number^[8] (le plus petit nombre étrange), 70.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Weird number » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Suite  A006037 de l'OEIS.
2. (en) Stan Benkoski et Paul Erdős, « On Weird and Pseudoperfect Numbers », Mathematics of Computation, vol. 28, n^o 126,‎ 1974, p. 617-623 (DOI 10.2307/2005938).
3. (en) C. N. Friedman, « Sums of Divisors and Egyptian Fractions », Journal of Number Theory, vol. 44, n^o 3,‎ 1993, p. 328-339 (DOI 10.1006/jnth.1993.1057). Le résultat est attribué à « M. Mossinghoff, université du Texas à Austin ».
4. (en) « Odd Weird Search »
5. (en) Stanley Kravitz, « A search for large weird numbers », Journal of Recreational Mathematics, Baywood Publishing, vol. 9, n^o 2,‎ 1976, p. 82-85.
6. (en) « CWU Math Students Break World Record for Largest Weird Number », sur CWU.edu.
7. (en) Douglas Iannucci, « On primitive weird numbers of the form $2^k p q$ », arXiv:1504.02761,‎ 7 avril 2015 (lire en ligne, consulté le 23 novembre 2017)
8. (en) « The Smallest Weird Number », sur bocpages.org/wiki.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Weird Number », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres