Nombres premiers cousins

En mathématiques, les nombres premiers cousins sont les paires de nombres premiers qui diffèrent de 4. Ils se rapprochent ainsi des nombres premiers jumeaux, les paires de nombres premiers qui diffèrent de 2, et des nombres premiers sexy, les paires de nombres premiers qui diffèrent de 6. Les nombres premiers cousins (suites  A023200 et  A046132 dans OEIS, ou suite  A140382) inférieurs à 1 000 sont :

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461),(463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

Propriétés

Le nombre premier appartenant à deux paires de nombres premiers cousins est 7. Un des nombres n, n+4, n+8 est toujours divisible par 3, par conséquent, n = 3 est le seul cas où tous sont premiers.

En mai 2009, le plus grand nombre premier cousin découvert (p, p + 4) était

p = (311778476 · 587502 · 9001# · (587502 · 9001# + 1) + 210)·(587502 · 9001# − 1)/35 + 1

où 9001# est un primorielle. Il a été trouvé par Ken Davis et possède 11594 décimales^[1].

Le plus grand couple de premiers cousins probables est

474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ − 1

474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ − 5.

Ils comptent 29629 chiffres en base dix et a été découvert par Angel, Jobling et Augustin^[2]. Alors que le premier de ces nombres a été prouvé premier, il n'y a pas de test de primalité connu pour déterminer facilement si le deuxième nombre est premier aussi.

Il découle de la première conjecture de Hardy-Littlewood que les nombres premiers cousins ont la même densité asymptotique que les nombres premiers jumeaux. On peut définir, pour les nombres premiers cousins, un analogue de la constante de Brun associée aux nombres premiers jumeaux, en omettant le terme initial (3, 7) ^Pourquoi ? :

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots }$

En utilisant les nombres premiers cousins jusqu'à 2⁴², la valeur de B₄ fut estimée par Marek Wolf en 1996 à

B₄ ≈ 1,1970449.

Cette constante ne doit pas être confondue avec la constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers, qui est aussi notée B₄.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cousin prime » (voir la liste des auteurs).

1. digit cousin prime pair
2. 474435381 · 2⁹⁸³⁹⁴ − 1. Prime Pages.

Bibliographie

• (en) David Wells, Prime Numbers : The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011, 288 p. (ISBN 978-1-118-04571-8 et 1-118-04571-8), p. 33
• (en) Benjamin Fine et Gerhard Rosenberger, Number theory : an introduction via the distribution of primes, Boston, Birkhäuser, 2007, 206 p. (ISBN 978-0-8176-4472-7 et 0-8176-4472-5)
• (en) Marek Wolf, « Random walk on the prime numbers », Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 250, n^os 1-4,‎ 15 février 1998 (DOI 10.1016/s0378-4371(97)00661-4)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Cousin Primes », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres