Normalisateur

En mathématiques, dans un groupe G, le normalisateur d'une partie X est l'ensemble, noté N_G(X), des éléments g de G qui normalisent X, c'est-à-dire qui vérifient gXg⁻¹ = X :

${\displaystyle N_{G}(X)=\{g\in G~|~gXg^{-1}=X\}=\{g\in G~|~gX=Xg\}.}$

Si Y est une partie de G dont tout élément normalise X, on dit que Y normalise X^[1].

Propriétés

Soient G un groupe, X et Y deux parties de G, H et K deux sous-groupes de G.

• N_G(X) est un sous-groupe de G.

Démonstration

Tout d'abord, il est évident que N_G(X) contient l'élément neutre.

Ensuite, soient ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ deux éléments de N_G(X). On a:

${\displaystyle xyX(xy)^{-1}=xyXy^{-1}x^{-1}=x(yXy^{-1})x^{-1}=xXx^{-1}=X}$.

D'où ${\displaystyle xy\in N_{G}(X)}$.

Enfin, soit ${\displaystyle x\in N_{G}(X)}$. On a ${\displaystyle xXx^{-1}=X}$ et donc ${\displaystyle X=x^{-1}Xx}$ et donc ${\displaystyle x^{-1}\in N_{G}(X)}$

Les trois conditions nécessaires et suffisantes pour que ${\displaystyle N_{G}(X)}$ soit un sous-groupe sont donc réunies. ∎

• N_G(H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est normal, en particulier N_G(H) = G si et seulement si H est normal dans G.
• Le centralisateur C_G(X) de X dans G est un sous-groupe normal de N_G(X).
• Pour tout élément x de G, N_G({x}) = C_G({x}) = C_G(x).
• Désignons par 〈X〉 le sous-groupe de G engendré par la partie X. Alors N_G(〈X〉) est l'ensemble des éléments g de G tels que gXg⁻¹ et g⁻¹Xg soient contenus dans 〈X〉. On notera que l'inclusion de N_G(X) dans N_G(〈X〉) peut être stricte : par exemple, si G est le groupe symétrique S₃, si X est le singleton {(1 2 3)}, alors 〈X〉= A₃ est normal dans G = S₃, donc le normalisateur de 〈X〉 est G tout entier, tandis que le normalisateur de X est le centralisateur de la permutation circulaire (1 2 3), réduit au sous-groupe 〈X〉= A₃.
• Le nombre de conjugués de X dans G est égal à l'indice de N_G(X) dans G. En particulier, puisque tous les p-Sylow de G sont conjugués, le nombre de p-Sylow de G est égal à l'indice du normalisateur de n'importe lequel d'entre eux.
• Y normalise X si et seulement si Y est inclus dans N_G(X).
• Si K normalise H alors le sous-groupe engendré par H ⋃ K est l'ensemble HK = KH. (Cela se déduit d'une propriété des sous-groupes normaux, en considérant H et K comme deux sous-groupes de N_G(H) dont l'un est normal.)

Exemples

• Le normalisateur dans le groupe linéaire du groupe orthogonal est le groupe des similitudes.

Notes et références

1. Définitions conformes à N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, I.53-I.54.

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