Probabilité a posteriori

Dans le théorème de Bayes, la probabilité a posteriori désigne la probabilité recalculée ou remesurée qu'un évènement ait lieu en prenant en considération une nouvelle information. Autrement dit, la probabilité a posteriori est la probabilité qu'un évènement A ait lieu étant donné que l'évènement B a eu lieu. Elle s'oppose à la probabilité a priori dans l'inférence bayésienne.

Définition

La loi a priori ${\displaystyle p(\theta )}$ qu'un évènement ${\displaystyle X}$ ait lieu avec vraisemblance est ${\displaystyle p(X|\theta )}$. La probabilité a posteriori se définit comme :

${\displaystyle p(\theta |X)={\frac {p(X|\theta )p(\theta )}{p(X)}}.}$^[1]

La probabilité a posteriori peut s'écrire : ${\displaystyle {\text{Probabilité a posteriori}}\propto {\text{Vraisemblance}}\times {\text{Probabilité a priori}}.}$^[2]

Calcul

La distribution d'une probabilité a posteriori d'une variable aléatoire étant donné la valeur d'une autre peut être calculée avec le théorème de Bayes en multipliant la distribution de la probabilité a priori par la fonction de vraisemblance, et ensuite divisé par la constante de normalisation, tel que :

${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)={f_{X}(x){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x) \over {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}}}$

ce qui donne la fonction de densité a posteriori d'une variable aléatoire ${\displaystyle X}$ étant donné que ${\displaystyle Y=y}$ et où :

• ${\displaystyle f_{X}(x)}$ est la densité antérieure de ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x)=f_{Y\mid X=x}(y)}$ est la fonction de vraisemblance de ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}$ est la constante de normalisation, et
• ${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)}$ la densité postérieure de ${\displaystyle X}$ sachant ${\displaystyle Y=y}$.

Distributions continues et discrètes

Articles connexes

• Inférence bayésienne
• Probabilité a priori
• Probabilité conditionnelle
• Statistique bayésienne
• Fonction de vraisemblance
• Théorème de Bayes

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Prior probability » (voir la liste des auteurs) et « Posterior probability » (voir la liste des auteurs).

Références

1. Christopher M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006, 21–24 p. (ISBN 978-0-387-31073-2)
2. Peter M. Lee, Bayesian statistics: an introduction, London, Arnold, 2004 (ISBN 9780340814055, lire en ligne)

Bibliographie

• Rubin, Donald B., Gelman, Andrew, John B. Carlin et Stern, Hal, Bayesian Data Analysis, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, 2003, 2nd éd. (ISBN 978-1-58488-388-3, MR 2027492)
• James O. Berger, Statistical decision theory and Bayesian analysis, Berlin, Springer-Verlag, 1985 (ISBN 978-0-387-96098-2, MR 0804611)
• James O. Berger et William E. Strawderman, « Choice of hierarchical priors: admissibility in estimation of normal means », Annals of Statistics, vol. 24, n^o 3,‎ 1996, p. 931–951 (DOI 10.1214/aos/1032526950, MR 1401831, zbMATH 0865.62004)
• Jose M. Bernardo, « Reference Posterior Distributions for Bayesian Inference », Journal of the Royal Statistical Society, Series B, vol. 41, n^o 2,‎ 1979, p. 113–147 (JSTOR 2985028, MR 0547240)
• James O. Berger, José M. Bernardo et Dongchu Sun, « The formal definition of reference priors », Annals of Statistics, vol. 37, n^o 2,‎ 2009, p. 905–938 (DOI 10.1214/07-AOS587, Bibcode 2009arXiv0904.0156B, arXiv 0904.0156)
• Edwin T. Jaynes, « Prior Probabilities », IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, vol. 4, n^o 3,‎ septembre 1968, p. 227–241 (DOI 10.1109/TSSC.1968.300117, lire en ligne, consulté le 27 mars 2009)
  • réimprimé dans Rosenkrantz, Roger D., E. T. Jaynes: papers on probability, statistics, and statistical physics, Boston, Kluwer Academic Publishers, 1989, 116–130 p. (ISBN 978-90-277-1448-0)
• Edwin T. Jaynes, Probability Theory: The Logic of Science, Cambridge University Press, 2003 (ISBN 978-0-521-59271-0, lire en ligne)
• Jon Williamson, « review of Bruno di Finetti. Philosophical Lectures on Probability », Philosophia Mathematica, vol. 18, n^o 1,‎ 2010, p. 130–135 (DOI 10.1093/philmat/nkp019, lire en ligne [archive du 9 juin 2011], consulté le 2 juillet 2010)
• Tony Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics, Oxford, Blackwell, 2004 (ISBN 1-4051-1720-6)
• Peter M. Lee, Bayesian Statistics : An Introduction, Wiley, 2004, 3rd éd. (ISBN 0-340-81405-5)

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