Processus progressivement mesurable

En mathématiques, un processus progressivement mesurable est un type de processus stochastique. Ce type de processus permet de démontrer qu'un processus arrêté est mesurable.

Définition

Soient

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ un espace de probabilité ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$ une filtration de la σ-algèbre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ un processus stochastique (l'ensemble des indices pourrait être ${\displaystyle [0,T]}$ ou ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ au lieu de ${\displaystyle [0,\infty )}$)
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])}$ la σ-algèbre de Borel sur ${\displaystyle [0,t]}$.

Le processus ${\displaystyle X}$ est dit progressivement mesurable^[1] si, pour chaque ${\displaystyle t}$, l'application ${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$ définie par ${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$ est ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$ - mesurable. Cela implique que ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ - adapté^[2].

Références

1. (en) Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing, Milan/New York, Berlin: Springer, 2011, 719 p. (ISBN 978-88-470-1781-8, lire en ligne)
2. (en) Ioannis Karatzas et Steven Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, New York/Berlin/Paris etc., Springer, 1991, 2^e éd., 4–5 p. (ISBN 0-387-97655-8, lire en ligne)

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