En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupeG à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.
Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normalH par un sous-groupeK[1] si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :
(en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
(tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que .
La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet
deux éléments de G ainsi décomposés. On a :
décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément de K.
Dans ce cas, le groupe Kagit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :
On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, et , et un morphisme de dans le groupe des automorphismes de , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe de et suivant comme le produit cartésien de et muni de la loi de groupe :
où l'inverse d'un élément est .
On peut injecter dans par l'injection canonique, et injecter dans par l'injection canonique. On vérifie alors que est le produit semi-direct interne de par au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme est l'automorphisme de conjugaison par . On note
ou tout simplement .
Le cas où est le morphisme trivial de groupe (i.e. ) correspond au produit direct.
Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs
Le groupe diédralD2n est le produit semi-direct d'un groupe cycliqueCnd'ordren par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion[3]. Explicitement, le morphisme de C2 dans Aut(Cn) est défini par :si et , alors Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.
Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme où est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple . La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :
.
En particulier, le groupe des isométries affines est le produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des isométries laissant invariant un point donné.
L'holomorphe d'un groupeG peut être défini comme le produit semi-direct de G par Aut(G) (groupe des automorphismes de G) relativement à l'opération naturelle de Aut(G) sur G.
(en) William R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 213.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est produit semi-direct du sous-groupe K par le sous-groupe normal H :
↑(en) Daciberg Lima Gonçalves et John Guaschi, « The lower central and derived series of the braid groups of the sphere », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 361, , p. 3375-3399 (lire en ligne) (Proposition 3.3), arXiv:math/0603701 (Proposition 29).