Repère de Darboux

En géométrie différentielle, le repère de Darboux est un repère mobile (en) utile pour l'étude des courbes tracées sur une surface de l'espace euclidien orienté à trois dimensions. Il permet la définition des courbures normale et géodésique, et de la torsion géodésique.

Il ne faut pas confondre ce repère avec la notion de base de Darboux en géométrie symplectique.

Définition du repère de Darboux

On suppose que Σ est une nappe paramétrée de l'espace euclidien orienté E à trois dimensions, de paramétrage donnée par la fonction M(u, v) de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ (k>1) d'un domaine de R² dans E. On suppose qu'il s'agit d'une nappe régulière, c'est-à-dire que les vecteurs ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial u}},{\frac {\partial M}{\partial v}}}$ sont indépendants. Ils fournissent alors une base du plan tangent, permettant de l'orienter et de définir la normale orientée à la surface :

${\displaystyle n={\frac {{\frac {\partial M}{\partial u}}\wedge {\frac {\partial M}{\partial v}}}{\left\|{\frac {\partial M}{\partial u}}\wedge {\frac {\partial M}{\partial v}}\right\|}}}$

On suppose qu'un arc paramétré γ est tracé sur la surface, et qu'il est paramétré par l'abscisse curviligne sous la forme d'une fonction P(s) de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$. Le vecteur vitesse est donc unitaire et tangent à la courbe, dirigé dans le sens du mouvement :

${\displaystyle t={\frac {dP}{ds}}}$

Ce vecteur, appelé vecteur tangent unitaire, est bien évidemment inclus dans le plan tangent à la surface. Il est possible de compléter la famille (t, n) par un vecteur g tel que le triplet (t, g, n) forme une base orthonormale directe : il suffit en effet de prendre

${\displaystyle g=n\wedge t}$

appelé vecteur normal géodésique. Il est à la fois contenu dans le plan tangent à la surface et orthogonal à la droite tangente à la courbe. Le repère de Darboux au point de paramètre s est obtenu en prenant pour origine P(s) et les vecteurs (t, g, n) calculés au point s.

Formules de Darboux

Les vecteurs du repère de Darboux sont par construction des fonctions dérivables de s. En outre, comme t, g, n constituent une base orthonormale pour toute valeur de s, les vecteurs dérivés vérifient un certain nombre de relations appelées formules de Darboux. Il existe des coefficients γ_n (courbure normale), γ_g (courbure géodésique) et τ_g (torsion géodésique) calculés au point de paramètre s et tels que les relations suivantes soient vérifiées :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dt}{ds}}&=&&\gamma _{g}g&+\gamma _{n}n\\{\frac {dg}{ds}}&=&-\gamma _{g}t&&-\tau _{g}n\\{\frac {dn}{ds}}&=&-\gamma _{n}t&+\tau _{g}g&\end{matrix}}\right.}$

On peut résumer ces formules symboliquement en utilisant une matrice :

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\begin{pmatrix}t\\g\\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\gamma _{g}&\gamma _{n}\\-\gamma _{g}&0&-\tau _{g}\\-\gamma _{n}&\tau _{g}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\g\\n\end{pmatrix}}}$

L'orthonormalité des vecteurs du repère de Darboux se traduit par l'antisymétrie de la matrice : il s'agit en fait ici d'un résultat général sur les repères mobiles.

De même que les vecteurs du repère de Darboux, les trois coefficients associés γ_n, γ_g et τ_g sont invariants par les changements de paramétrage respectant l'orientation de la courbe ou de la surface.

Une courbe telle qu'en chacun de ses points, la courbure géodésique est nulle, s'appelle une géodésique. Si on imagine un navire naviguant sur la surface, ce navire parcourt une géodésique s'il n'effectue pas de lacet.

Une courbe telle qu'en chacun de ses points, la torsion géodésique est nulle, s'appelle une ligne de courbure. Cette ligne est tangente en chacun de ses points à une direction principale. Si on imagine un navire naviguant sur la surface, ce navire parcourt une ligne de courbure s'il n'effectue pas de roulis.

Lien avec le repère de Frenet

En tant que courbe gauche de l'espace orienté, l'arc γ dispose également d'un autre repère mobile, le repère de Frenet (P(s), T(s), N(s), B(s)). Les premiers vecteurs (tangent unitaire) t et T coïncident.

On passe donc d'un des deux repères à l'autre par une opération géométrique simple : une rotation dans le plan normal au vecteur T = t permet de passer de N à n. On note α l'angle de cette rotation de sorte que les formules de passage sont

${\displaystyle n=\cos \alpha \cdot N+\sin \alpha \cdot B\qquad g=\sin \alpha \cdot N-\cos \alpha \cdot B}$

Les trois coefficients (courbure normale, courbure géodésique et torsion géodésique) se déduisent de la courbure et de la torsion d'une courbe par les formules suivantes^[1] :

${\displaystyle \gamma _{g}=\gamma \sin(\alpha )}$

${\displaystyle \gamma _{n}=\gamma \cos(\alpha )}$

${\displaystyle \tau _{g}=\tau -{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} s}}}$

Notes et références

1. Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de Mathématiques : Géométrie et Cinématique, t. 3, Paris, Bordas, 1977, p. 486.

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