Somme des n premiers cubes

Visualisation graphique de l'égalité.

La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers :

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2}}$.

Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une série arithmétique :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}}$.

Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque^[1]. C'est un cas particulier de la formule de Faulhaber.

De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver. Stroeker^[2] estime que « chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux ». Pengelley^[3] et Bressoud^[4] retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle Jordanie), mais aussi chez Aryabhata en Inde au V^e siècle, chez Al-Karaji vers l'an 1000 en Perse^[5], chez Alcabitius en Arabie, chez le Français Gersonide^[6] et chez Nilakantha Somayaji (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une démonstration visuelle (cf. figure ci-contre).

Plusieurs autres démonstrations sont possibles. L'une est fournie par Charles Wheatstone^[7], qui développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs et utilise le fait que la somme des n premiers nombres impairs est égale à ${\displaystyle n^{2}}$, et que la somme des n premiers entiers est égale au n-ième nombre triangulaire ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}1+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}&=1+[3+5]+[7+9+11]+[13+15+17+19]+\cdots +\underbrace {[\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)]} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}.\end{aligned}}}$

Une preuve algébrique plus directe est la suivante :

${\displaystyle \left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)^{2}=n^{2}{\frac {(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}{4}}=n^{3}}$.

Les valeurs de ${\displaystyle \left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$ pour les premiers entiers naturels sont : 0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, etc. (suite A000537 de l'OEIS).

Références

1. Eugène Catalan, « Sur un théorème d'arithmétique », Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, vol. 1, n^o 2,‎ 1877 (lire en ligne)
2. (en) R. J. Stroeker, « On the sum of consecutive cubes being a perfect square », Compositio Mathematica, vol. 97,‎ 1995, p. 295-307 (lire en ligne).
3. (en) David Pengelley, « The bridge between the continuous and the discrete via original sources », dans Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference, National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, 2002 (lire en ligne).
4. (en) David Bressoud, « Calculus before Newton and Leibniz, Part III », AP Central, 2004.
5. (en) Victor J. Katz, A History of Mathematics. An Introduction, Addison-Wesley, 1998, 2^e éd., p. 255, rapporté par (en) Janet Beery, « Sums of Powers of Positive Integers - Abu Bakr al-Karaji (d. 1019), Baghdad », Convergence, MAA,‎ juillet 2010 (lire en ligne). Voir aussi A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions], p. 90.
6. Katz 1998, p. 304, rapporté par Beery 2010.
7. (en) Charles Wheatstone, « On the formation of powers from arithmetical progressions », Proceedings of the Royal Society of London, vol. 7,‎ 1854, p. 145-151 (DOI 10.1098/rspl.1854.0036).

Articles connexes

• Algèbre géométrique
• Formule de Faulhaber qui donne la valeur de ${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$

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