Tenseur électromagnétique

Le tenseur électromagnétique, ou tenseur de Maxwell est le nom de l'objet mathématique décrivant la structure du champ électromagnétique en un point donné.

Désignations

Le tenseur électromagnétique^[1],[2] est aussi connu comme :

• le tenseur d'intensité du champ électromagnétique^[3] ;
• le tenseur du champ magnétique^[4] ;
• le tenseur de Maxwell^[4] ;
• le tenseur de Faraday^[4].

Définition

Ce tenseur est défini dans le cadre du formalisme mathématique de la relativité restreinte, où aux trois dimensions spatiales est adjointe une dimension temporelle. Les objets vectoriels ont ainsi quatre composantes, on parle donc de quadrivecteur. Le tenseur électromagnétique peut être vu comme une matrice 4×4, dont les éléments sont déterminés par un quadrivecteur appelé quadrivecteur potentiel, habituellement noté A. Le tenseur de Maxwell, habituellement noté F est donné par la formule

${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}}$.

Ce tenseur est antisymétrique. Sa trace est donc nulle.

Expression des composantes

Le tenseur électromagnétique permet de reconsidérer la force de Lorentz s'exerçant sur une particule chargée de charge q. Cette force, f a pour expression

${\displaystyle {\mathbf {f} }=q\left({\mathbf {E} }+{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {B} }\right)}$.

En relativité restreinte, son expression devient

${\displaystyle f^{a}=qF^{a}{}_{b}u^{b}}$,

où u est la quadrivitesse de la particule considérée. Ceci permet de reconstituer les composantes du tenseur de Maxwell dans un système de coordonnées cartésiennes :

${\displaystyle F^{a}{}_{b}=\left({\begin{array}{rrrr}0&{\frac {1}{c}}E^{x}&{\frac {1}{c}}E^{y}&{\frac {1}{c}}E^{z}\\{\frac {1}{c}}E^{x}&0&B^{z}&-B^{y}\\{\frac {1}{c}}E^{y}&-B^{z}&0&B^{x}\\{\frac {1}{c}}E^{z}&B^{y}&-B^{x}&0\end{array}}\right)}$.

L'expression des composantes F_ab dépend de la convention de signature de la métrique utilisée. Dans l'hypothèse où celle-ci est du type ${\displaystyle (-+++)}$, on a

${\displaystyle F_{ab}^{(-+++)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&-{\frac {1}{c}}E^{x}&-{\frac {1}{c}}E^{y}&-{\frac {1}{c}}E^{z}\\{\frac {1}{c}}E^{x}&0&B^{z}&-B^{y}\\{\frac {1}{c}}E^{y}&-B^{z}&0&B^{x}\\{\frac {1}{c}}E^{z}&B^{y}&-B^{x}&0\end{array}}\right)}$.

Dans le cas inverse, avec la convention ${\displaystyle (+---)}$, toutes les composantes sont opposées. On a

${\displaystyle F_{ab}^{(+---)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&{\frac {1}{c}}E^{x}&{\frac {1}{c}}E^{y}&{\frac {1}{c}}E^{z}\\-{\frac {1}{c}}E^{x}&0&-B^{z}&B^{y}\\-{\frac {1}{c}}E^{y}&B^{z}&0&-B^{x}\\-{\frac {1}{c}}E^{z}&-B^{y}&B^{x}&0\end{array}}\right)}$.

La différence entre ces deux notations disparaît si l'on exprime les champs électrique E et magnétique B en fonction du potentiel vecteur. L'expression de F_xy correspond à

${\displaystyle F_{xy}=\partial _{x}A_{y}-\partial _{y}A_{x}}$.

Dans la convention ${\displaystyle (-+++)}$, cela correspond aussi à

${\displaystyle F_{xy}^{(-+++)}=\partial _{x}A^{y}-\partial _{y}A^{x}}$.

Cette expression correspond à la composante selon z du rotationnel tridimensionnel de A, qui correspond, d'après les équations de Maxwell à B^z, conformément à l'expression de F_xy dans la convention ${\displaystyle (-+++)}$. De même, dans la convention ${\displaystyle (+---)}$, on a

${\displaystyle F_{xy}^{(+---)}=\partial _{y}A^{x}-\partial _{x}A^{y}}$,

qui correspond d'après ce qui précède à -B^z. De façon similaire, on a

${\displaystyle F_{xt}=\partial _{x}A_{t}-\partial _{t}A_{x}}$.

En convention ${\displaystyle (-+++)}$, ceci s'écrit

${\displaystyle F_{xt}^{(-+++)}=-c^{2}\partial _{x}A^{t}-\partial _{t}A^{x}}$,

et correspond donc à la composante de E selon x, si l'on assimile le potentiel électrique V à c²A^t, alors qu'en convention ${\displaystyle (+---)}$, on a

${\displaystyle F_{xt}^{(+---)}=c^{2}\partial _{x}A^{t}+\partial _{t}A^{x}}$,

qui correspond bien à -E^x.

Les composantes contravariantes s'expriment de la même façon :

${\displaystyle F^{ab}{}^{(-+++)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&{\frac {1}{c}}E^{x}&{\frac {1}{c}}E^{y}&{\frac {1}{c}}E^{z}\\-{\frac {1}{c}}E^{x}&0&B^{z}&-B^{y}\\-{\frac {1}{c}}E^{y}&-B^{z}&0&B^{x}\\-{\frac {1}{c}}E^{z}&B^{y}&-B^{x}&0\end{array}}\right)}$,

et

${\displaystyle F^{ab}{}^{(+---)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&-{\frac {1}{c}}E^{x}&-{\frac {1}{c}}E^{y}&-{\frac {1}{c}}E^{z}\\{\frac {1}{c}}E^{x}&0&-B^{z}&B^{y}\\{\frac {1}{c}}E^{y}&B^{z}&0&-B^{x}\\{\frac {1}{c}}E^{z}&-B^{y}&B^{x}&0\end{array}}\right)}$.

Tenseur dual

Le tenseur électromagnétique étant antisymétrique, il s'agit d'un bivecteur. Il est possible d'en déduire son bivecteur dual, F^*, par la formule

${\displaystyle F_{ab}^{*}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{cd}}$,

où ε est le tenseur de Levi-Civita, ce qui donne

${\displaystyle F_{ab}^{*\;(-+++)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&-B^{x}&-B^{y}&-B^{z}\\B^{x}&0&-{\frac {1}{c}}E^{z}&{\frac {1}{c}}E^{y}\\B^{y}&{\frac {1}{c}}E^{z}&0&-{\frac {1}{c}}E^{x}\\B^{z}&-{\frac {1}{c}}E^{y}&{\frac {1}{c}}E^{x}&0\end{array}}\right)}$,

et

${\displaystyle F_{ab}^{*\;(+---)}=\left({\begin{array}{rrrr}0&B^{x}&B^{y}&B^{z}\\-B^{x}&0&{\frac {1}{c}}E^{z}&-{\frac {1}{c}}E^{y}\\-B^{y}&-{\frac {1}{c}}E^{z}&0&{\frac {1}{c}}E^{x}\\-B^{z}&{\frac {1}{c}}E^{y}&-{\frac {1}{c}}E^{x}&0\end{array}}\right)}$.

Dans les deux cas, l'opération de dualisation permet de transformer le champ électrique (divisé par c) E/c en B et le champ magnétique B en -E/c.

Aspects mathématiques

Mathématiquement, le tenseur de Maxwell peut être vu comme la dérivée extérieure de A, ce que l'on peut noter sous la forme compacte

${\displaystyle F={\rm {d}}A}$.

De ce fait, le tenseur de Maxwell peut être défini par un autre potentiel vecteur, A', défini par

${\displaystyle A'_{a}=A_{a}+\partial _{a}\phi }$,

ou, plus simplement,

${\displaystyle A'=A+{\rm {d}}\phi }$,

car la dérivée extérieure seconde d'une quantité est nulle par définition. Cette propriété, le fait que le tenseur de Maxwell soit défini à une transformation près du potentiel vecteur, est appelée invariance de jauge.

Équations de Maxwell

Les deux équations de Maxwell sans source (${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {B} }=0}$ et ${\displaystyle \nabla \wedge {\mathbf {E} }=-\partial {\mathbf {B} }/\partial t}$) peuvent être combinées en une seule équation très simple, à savoir

${\displaystyle {\rm {d}}F=0}$,

qui découle elle-même du fait que F est déjà une dérivée extérieure, que la dérivée extérieure d'une dérivée extérieure est identiquement nulle.

Les deux équations impliquant la présence de charges, ${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {E} }=\rho /\epsilon _{0}}$ et ${\displaystyle \nabla \wedge {\mathbf {B} }=\mu _{0}{\mathbf {j} }+(1/c^{2})\partial {\mathbf {E} }/\partial t}$, peuvent alors être réécrites sous la forme unifiée

${\displaystyle {}^{*}{\rm {d}}F^{*}={\frac {j}{\epsilon _{0}}}}$,

où j est le quadrivecteur du courant électrique, et * désigne l'opérateur de dualité de Hodge.

Notes et références

1. Pérez 2016, chap. 9, § III.6, p. 230.
2. Semay et Silvestre-Brac 2016, chap. 11, § 11.5, p. 237.
3. Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 12, § 12.5, p. 293.
4. Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 6, § 6.1, p. 133.

Voir aussi

Bibliographie

• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. de Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / physique », mai 2010, 1^re éd., 1 vol., XXVI-776, ill. et fig., 15,5 × 23 cm (ISBN 978-2-7598-0067-4 et 978-2-271-07018-0, EAN 9782759800674, OCLC 690639994, BNF 41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael P. Hobson, George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, rév. par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles et Paris, De Boeck Université, coll. « Physique », déc. 2009, 1^re éd., 1 vol., XX-554, ill. et fig., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Penrose 2007] Roger Penrose (trad. de l'anglais par Céline Laroche), À la découverte des lois de l'univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », avr. 2007, 1^re éd., 1 vol., XXII-1061, ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF 41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Malakoff, Dunod, hors coll., mai 2016 (réimpr. oct. 2017), 3^e éd. (1^re éd. sept. 1999), 1 vol., XXIII-439, ill. et fig., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7 et 978-2-10-074717-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Semay et Silvestre-Brac 2016] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications, Paris, Dunod, coll. « Sciences sup », mars 2016, 3^e éd. (1^re éd. oct. 2005), 1 vol., X-309, ill. et fig., 17,1 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, BNF 45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll. / sciences, janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. tenseur de Faraday, p. 721 col. 2.

Articles connexes

• Électromagnétisme
• Équations de Maxwell

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