Théorème de Slutsky

En probabilités, le théorème de Slutsky^[1] étend certaines propriétés algébriques de la convergence des suites numériques à la convergence des suites de variables aléatoires. Le théorème porte le nom d'Eugen Slutsky^[2]. Le théorème de Slutsky est aussi attribué à Harald Cramér^[3].

Énoncé

Soient (X_n) et (Y_n) des suites de variables aléatoires à valeur respectivement dans R^p et R^q.

Théorème de Slutsky — Si X_n converge en loi vers X, et si Y_n converge en probabilité vers une constante c, alors le couple (X_n,Y_n) converge en loi vers le couple (X,c).

Par exemple, si les X_n, Y_n sont des vecteurs ou des matrices pouvant être ajoutés ou multipliés, on a la convergence en loi de X_n + Y_n vers X + c, et de Y_nX_n vers cX.

Remarque —  Dans l'énoncé du théorème, l'hypothèse « Y_n converge en probabilité vers une constante c » est en fait équivalente à l'hypothèse « Y_n converge en loi vers une constante c »^[4].

Démonstration

L'implication directe est bien connue (preuve). Pour la réciproque il suffit de remarquer que ${\displaystyle O:=\{x:d(x,c)<\epsilon \}}$ est un ouvert et que par conséquent (voir le point 4 du Théorème porte-manteau)

${\displaystyle \liminf _{n}\mathbb {P} \left(Y_{n}\in O\right)\ \geq \ \mathbb {P} \left(c\in O\right)=1}$

Notes :

1. L'hypothèse selon laquelle Y_n converge vers une constante est importante — si la limite était une variable non dégénérée, le théorème ne serait plus valide.
2. Le théorème reste valide lorsqu'on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.

Voir aussi

• Convergence de variables aléatoires

Bibliographie

• (en) G. Grimmett et D. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford, 2001, 3^e éd.
• (en) Allan Gut, Probability : a graduate course, Springer-Verlag, 2005 (ISBN 0-387-22833-0, lire en ligne)
• (de) E. Slutsky, « Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte », Metron, vol. 5, n^o 3,‎ 1925, p. 3–89 Zbl 51.0380.03

Notes et références

1. Grimmett 2001, Exercise 7.2.5
2. Slutsky 1925
3. Si l'on en croit la remarque 11.1 de Gut 2005, p. 249, le théorème de Slutsky est aussi appelé théorème de Cramér.
4. Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, Inc., coll. « Wiley Series in Probability and Statistics » (ISBN 9780471197454, DOI 10.1002/9780470316962), p. 27.

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