Théorie d'Iwasawa

La théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des rationnels) à des extensions infinies de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies.

Généralités

Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, pour ${\displaystyle p}$ un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions ${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}\subset \dots \subset K_{\infty }}$ telle que chaque ${\displaystyle K_{n}}$ est galoisienne sur ${\displaystyle K}$ de groupe de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

• Pour chaque corps de nombres, une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension particulière peut-être construite par adjonction de racines ${\displaystyle p}$-ièmes de l'unité : la ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension cyclotomique.
• Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet ${\displaystyle r_{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensions linéairement indépendantes, où ${\displaystyle r_{2}}$ est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{r_{2}+1}}$.

Théorème fondamental

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension. Soit ${\displaystyle p\,}$ un nombre premier, ${\displaystyle K\,}$ un corps de nombres, et ${\displaystyle \bigcup _{n}K_{n}\,}$ une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,}$-extension de ${\displaystyle K\,}$. Pour chaque ${\displaystyle n\,}$, on s'intéresse au cardinal du ${\displaystyle p\,}$-Sylow du groupe des classes de ${\displaystyle K_{n}\,}$ ; notons le ${\displaystyle p^{e_{n}}\,}$. Alors, il existe des entiers ${\displaystyle \mu \,}$, ${\displaystyle \lambda \,}$ (positifs), ${\displaystyle \nu \,}$ (de signe quelconque), tels que pour ${\displaystyle n\,}$ assez grand, on ait :

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+\nu \,}$

Idée de la démonstration

Notons A(K_n) le p-Sylow du groupe des classes du corps K_n. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension L_n de K_n tel que ${\displaystyle A(K_{n})\simeq Gal(L_{n}/K_{n})}$ : L_n est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de K_n. L'union des corps L_n fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de ${\displaystyle K_{\infty }}$.

On considère alors le groupe de Galois ${\displaystyle X=Gal(L/K_{\infty })}$ :

• X est la limite projective des groupes ${\displaystyle Gal(L_{n}/K_{n})}$, qui apparaissent comme des quotients de X.
• X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-module.
• Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique ${\displaystyle Gal(K_{\infty }/K)}$ agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[[T]]}$-module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.

L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir ${\displaystyle Gal(L_{n}/K_{n})}$, on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui fournit la formule annoncée sur A(Kⁿ).

Quelques résultats et conjectures

• L'invariant ${\displaystyle \mu }$ est nul pour la ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension cyclotomique au-dessus d'une extension abélienne de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (théorème de Ferrero-Washington). Des exemples sont connus d'autres extensions où il n'est pas nul.
• L'invariant ${\displaystyle \lambda }$ est connu par exemple pour les corps quadratiques imaginaires, par la formule de Kida. Il est conjecturé qu'il est nul pour les corps totalement réels, c'est la conjecture de Greenberg.
• La structure de module d'Iwasawa du groupe ${\displaystyle X=Gal(L/K_{\infty })}$ est relié dans certains cas à certaines fonctions L p-adiques, par la conjecture principale en théorie d'Iwasawa, démontrée pour ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par Barry Mazur et Andrew Wiles en 1984^[1], puis pour tout corps de nombres totalement réel par Wiles en 1990^[2]. Leurs techniques s'inspiraient de celles utilisées par Ken Ribet dans sa preuve du théorème de Herbrand-Ribet. Karl Rubin a démontré d'autres généralisations de la conjecture pour les corps quadratiques imaginaires^[3]. Plus récemment, s'inspirant de la méthode de Ribet, Chris Skinner et Éric Urban ont annoncé une preuve de la conjecture principale pour GL(2)^[4].

Développements

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

• on considère le comportement le long des étages d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension d'autres objets que le groupe de classes, notamment du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique. On parle de théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques.
• on considère le comportement des objets arithmétiques non plus le long d'une ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extension, mais dans des extensions infinies ayant d'autres groupes de Galois : par exemple ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{d}}$, ou plus généralement un groupe analytique p-adique. Se développe ainsi une théorie d'Iwasawa non commutative, notamment sous l'impulsion de John Coates.

Notes et références

Notes

1. (en) B. Mazur et A. Wiles, « Class fields of abelian extensions of Q », Inventiones Mathematicae, vol. 76, n^o 2,‎ 1984, p. 179–330 (MR 742853)
2. (en) A. Wiles, « The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields », Annals of Mathematics, vol. 131, n^o 3,‎ 1990, p. 493–540 (DOI 10.2307/1971468)
3. (en) K. Rubin, « The "main conjectures" of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields », Inventiones Mathematicae, vol. 103, n^o 1,‎ 1991, p. 25–68 (DOI 10.1007/BF01239508)
4. (en) C. Skinner et É. Urban, The Iwasawa main conjectures for GL₂, preprint (2010).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Iwasawa theory » (voir la liste des auteurs).
• (en) Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields [détail des éditions]

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