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Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à démontrer ce résultat est en réalité le scientifique russe Ostrogradsky qui le présenta à Paris dans les années 1820. Lord Kelvin le redécouvrit 20 ans plus tard à Cambridge et en énonça un résultat particulier pour le rotationnel d'un champ de vecteurs. Le mathématicien et le physicien entretiennent à ce sujet une correspondance active de 1822 à 1853[1]. Ce résultat est parfois appelé « théorème de Kelvin-Stokes », ou parfois simplement théorème de Stokes, ce qui est une erreur historique[2], même pour le cas particulier du théorème concernant la circulation du rotationnel, qu'on trouvera décrite dans le paragraphe concernant le sens physique du théorème.
La démonstration actuelle demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration ; son apparente simplicité est trompeuse.
L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle, et de se ramener à un cas presque évident.
Soit {Ui}I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales , telles que :
Introduisons χi une partition de l'unité subordonnée à {Ui}. Comme le support de ω est fermé, la forme différentielle ω s'écrit :
où la sommation est à support fini. Posons , forme différentielle à support compact de M' = ℝ+×ℝn–1. La restriction est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations induites. On a donc :
Comme ϕi* commute avec l'opérateur de différentiation d, on a :
Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier M' = ℝ+×ℝn–1.
Une (n-1)-forme ω sur M' = ℝ+×ℝn–1 s'écrit :
où le chapeau désigne une omission. On trouve alors :
Si f est une fonction C∞ de la variable réelle, alors f est une forme différentielle de degré zéro, dont la différentielle est f'(x) dx.
Le bord orienté de [a , b] est {b} – {a} (extrémité avec l'orientation + et origine avec l'orientation –), quelles que soient
les valeurs relatives de a et b.
La formule de Stokes donne dans cette situation :
En fait, le théorème de Stokes est la généralisation de cette formule aux dimensions supérieures. La difficulté se trouve bien davantage dans la mise en place du bon cadre (formes différentielles, variétés à bord ou éventuellement plus générales, orientations) que dans la démonstration, qui repose sur le second théorème fondamental de l'analyse et un argument de partition de l'unité.
Soit K un domaine compact à bord lisse de ℝ3 et posons ω = dx ∧ dy ∧ dz une forme volume sur ℝ3. Si X est un champ de vecteurs sur un voisinage ouvert de K, alors sa divergencediv(X) vérifie
où ιXω désigne le produit intérieur de ω par X. La formule de Stokes s'écrit alors
Notons le champ de vecteurs normal sortant d'un domaine Urelativement compact à bord régulier.
Soit X un champ de vecteurs défini au voisinage de l'adhérence de U. On définit la forme surfacique sur ∂U par :
Soit ∂S une courbe fermée orientée dans ℝ3, S une surface orientée dont le contour est ∂S. L'orientation de ∂S est induite par l'orientation de S.
Si le champ vectoriel admet des dérivées partielles continues, alors :
Elle permet aussi de démontrer le lemme de Poincaré. Ce dernier s'avère d'une grande utilité pour comprendre les isotopies en homologie. Il est aussi utilisé notablement dans la preuve du théorème de Darboux en géométrie symplectique.